Primitiva y cálculo de área de una función trigonométrica

**(a) (1.25 puntos) Calcula una primitiva que pase por el origen de coordenadas.** Buscamos una función $F(x)$ tal que $F'(x) = f(x)$ y que cumpla la condición de pasar por el origen, es decir, $F(0) = 0$. Calculamos primero la integral indefinida de la función: $$F(x) = \int (-\text{sen}(2x) + 1) \, dx$$ Separamos la integral por la propiedad de linealidad: $$F(x) = -\int \text{sen}(2x) \, dx + \int 1 \, dx$$ Para integrar $\text{sen}(2x)$, recordamos que la integral del seno es el menos coseno, ajustando por la derivada del argumento ($2$): $$\int \text{sen}(ax) \, dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C$$ Aplicando esto: $$F(x) = -\left( -\frac{1}{2}\cos(2x) \right) + x + C = \frac{1}{2}\cos(2x) + x + C$$ 💡 **Tip:** No olvides la constante de integración $C$ al calcular la primitiva general; es fundamental para aplicar condiciones iniciales posteriormente.

Imponemos la condición de que la primitiva pase por el origen de coordenadas $(0,0)$, lo que implica que $F(0) = 0$: $$\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0) + 0 + C = 0$$ Como $\cos(0) = 1$: $$\frac{1}{2}(1) + C = 0 \implies C = -\frac{1}{2}$$ Sustituimos el valor de la constante $C$ en la expresión general para obtener la primitiva buscada: $$F(x) = \frac{1}{2}\cos(2x) + x - \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = \frac{1}{2}\cos(2x) + x - \frac{1}{2}}$$

**(b) (1.25 puntos) Calcula el área limitada por $f$, el eje $X$ y las rectas $x = 0$ y $x = \pi$.** El área $A$ encerrada por una función $f(x)$ y el eje $X$ entre $x=a$ y $x=b$ se define como: $$A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$$ Analizamos el signo de $f(x) = 1 - \text{sen}(2x)$ en el intervalo $[0, \pi]$. Dado que el valor del seno está siempre comprendido entre $-1$ y $1$: $$-1 \le \text{sen}(2x) \le 1$$ Esto implica que: $$f(x) = 1 - \text{sen}(2x) \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$ Como la función es siempre no negativa, el valor absoluto no es necesario y el área coincide directamente con la integral definida en el intervalo indicado: $$A = \int_{0}^{\pi} (1 - \text{sen}(2x)) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar si la función corta al eje $X$ dentro del intervalo de integración para dividir la integral en varios recintos si fuera necesario.

Utilizamos la primitiva obtenida anteriormente, $G(x) = x + \frac{1}{2}\cos(2x)$ (podemos ignorar la constante $C$ para integrales definidas), y aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ x + \frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{0}^{\pi} = \left( \pi + \frac{1}{2}\cos(2\pi) \right) - \left( 0 + \frac{1}{2}\cos(0) \right)$$ Sabiendo que $\cos(2\pi) = 1$ y $\cos(0) = 1$: $$A = \left( \pi + \frac{1}{2}(1) \right) - \left( \frac{1}{2}(1) \right)$$ $$A = \pi + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \pi$$ El área total es de $\pi$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \pi \text{ u}^2}$$ En el siguiente gráfico interactivo se muestra la región sombreada correspondiente al área calculada: