Estudio completo y representación de una función racional

**(a) (0.75 puntos) Calcula el dominio de la función $f$ y sus asíntotas.** El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. $$1 - x = 0 \implies x = 1$$ Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$$ **Asíntota Vertical (AV):** Para comprobar si existe una asíntota vertical en $x = 1$, calculamos los límites laterales: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{2x^2}{1 - x} = \frac{2}{0^+} = +\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} \frac{2x^2}{1 - x} = \frac{2}{0^-} = -\infty$$ Como el límite tiende a infinito, existe una **asíntota vertical en $x = 1$**. 💡 **Tip:** Las funciones racionales suelen tener asíntotas verticales en los puntos que no pertenecen al dominio si el límite allí es infinito.

**Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{1 - x} = \infty$$ Al ser el grado del numerador mayor que el del denominador, **no hay asíntota horizontal**. **Asíntota Oblicua (AO):** Como el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, existe una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$. Calculamos $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x(1 - x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x - x^2} = -2$$ Calculamos $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{2x^2}{1 - x} + 2x \right] = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 2x(1 - x)}{1 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 2x - 2x^2}{1 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1 - x} = -2$$ La **asíntota oblicua es $y = -2x - 2$**. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}, \quad \text{AV: } x = 1, \quad \text{AO: } y = -2x - 2}$$

**(b) (1.25 puntos) Halla en caso de que existan, los máximos y mínimos y puntos de inflexión. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{4x(1 - x) - 2x^2(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{4x - 4x^2 + 2x^2}{(1 - x)^2} = \frac{-2x^2 + 4x}{(1 - x)^2}$$ Buscamos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$: $$-2x^2 + 4x = 0 \implies 2x(-x + 2) = 0 \implies x = 0, \; x = 2$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el punto de discontinuidad $x = 1$: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & + & 0 & - \\ \text{Monotonía} & \searrow & \min & \nearrow & \nexists & \nearrow & \max & \searrow \end{array}$$ - **Crecimiento:** $x \in (0, 1) \cup (1, 2)$ - **Decrecimiento:** $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$

A partir del estudio anterior de la derivada, determinamos los extremos: - En $x = 0$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. $y = f(0) = \frac{2(0)^2}{1 - 0} = 0 \implies \mathbf{(0, 0)}$ - En $x = 2$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. $y = f(2) = \frac{2(2)^2}{1 - 2} = \frac{8}{-1} = -8 \implies \mathbf{(2, -8)}$ 💡 **Tip:** Recuerda que aunque $x=1$ separa intervalos, no puede ser un extremo porque no pertenece al dominio.

Para hallar los puntos de inflexión y la curvatura, calculamos la segunda derivada $f''(x)$: $$f''(x) = \frac{(-4x + 4)(1 - x)^2 - (-2x^2 + 4x) \cdot 2(1 - x) \cdot (-1)}{(1 - x)^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(1 - x)$: $$f''(x) = \frac{4(1 - x)^2 + 2(-2x^2 + 4x)}{(1 - x)^3} = \frac{4(1 - 2x + x^2) - 4x^2 + 8x}{(1 - x)^3} = \frac{4 - 8x + 4x^2 - 4x^2 + 8x}{(1 - x)^3} = \frac{4}{(1 - x)^3}$$ Buscamos $f''(x) = 0$: $$\frac{4}{(1 - x)^3} = 0 \implies 4 \neq 0$$ No hay soluciones reales, por lo que **no existen puntos de inflexión**. Analizamos el signo de $f''(x)$ respecto al punto de discontinuidad $x = 1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f''(x) & + & \nexists & - \\ \text{Curvatura} & \cup & \nexists & \cap \end{array}$$ - La función es **convexa** (cóncava hacia arriba) en $(-\infty, 1)$. - La función es **cóncava** (cóncava hacia abajo) en $(1, +\infty)$. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\text{Mín: } (0,0), \; \text{Máx: } (2, -8), \; \text{Sin P.I.}}$$

**(c) (0.5 puntos) Utilizando los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de $f$.** Resumen de elementos para la gráfica: - Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. - Asíntota vertical: $x = 1$. Comportamiento: $+\infty$ por la izquierda, $-\infty$ por la derecha. - Asíntota oblicua: $y = -2x - 2$. - Mínimo en $(0, 0)$ y máximo en $(2, -8)$. - Curvatura: convexa antes de $x=1$, cóncava después.