Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**(a) (1.75 puntos) Discute el sistema según los valores de $m$ y resuélvelo en los casos en los que sea posible.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 3 & 3 & 2 & m \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ por la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2 \cdot 2) + (1 \cdot 1 \cdot 3) + (1 \cdot 1 \cdot 3) - (3 \cdot 2 \cdot 1) - (3 \cdot 1 \cdot 2) - (2 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = 8 + 3 + 3 - (6 + 6 + 2) = 14 - 14 = 0$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz de coeficientes es cero, el rango de $A$ es menor que el número de incógnitas (3), por lo que el sistema nunca será Compatible Determinado.

Como $|A| = 0$, el rango de $A$ no es 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de la matriz ampliada $A^*$. Para ello, tomamos el menor anterior y lo orlamos con la columna de términos independientes: $$|M| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 3 & m \end{vmatrix} = (4m - 3 + 3) - (6 - 6 + m) = 4m - m = 3m$$ Para que el rango de $A^*$ sea 2, este determinante debe ser cero: $$3m = 0 \implies m = 0$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de todas las submatrices $3 \times 3$ de $A^*$ es cero, el rango es 2. Si hay al menos una distinta de cero, el rango es 3.

Aplicamos la discusión según los valores de $m$: * **Caso $m \neq 0$:** $\text{rango}(A) = 2$ y $\text{rango}(A^*) = 3$. Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)** (no tiene solución). * **Caso $m = 0$:** $\text{rango}(A) = 2$ y $\text{rango}(A^*) = 2$. Como los rangos son iguales pero menores que el número de incógnitas (3), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)** (infinitas soluciones). ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\text{Si } m \neq 0: \text{ Sistema Incompatible. Si } m = 0: \text{ Sistema Compatible Indeterminado.}}$$

Resolvemos para $m = 0$. Como el rango es 2, podemos prescindir de una ecuación (la tercera, que es combinación lineal de las otras) y tratar una incógnita como parámetro. Usamos el menor de orden 2 anterior ($x, y$) y pasamos $z$ al otro lado como el parámetro $\lambda$: $$\begin{cases} 2x + y = 1 - \lambda \\ x + 2y = -1 - \lambda \end{cases} \quad \text{donde } z = \lambda, \, \lambda \in \mathbb{R}$$ Multiplicamos la segunda ecuación por $-2$ y sumamos: $$(2x + y) + (-2x - 4y) = (1 - \lambda) + (2 + 2\lambda)$$ $$-3y = 3 + \lambda \implies y = -1 - \frac{\lambda}{3}$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación: $$x + 2\left(-1 - \frac{\lambda}{3}\right) = -1 - \lambda \implies x - 2 - \frac{2\lambda}{3} = -1 - \lambda$$ $$x = 1 - \lambda + \frac{2\lambda}{3} = 1 - \frac{\lambda}{3}$$ ✅ **Resultado (Solución para $m=0$):** $$\boxed{(x, y, z) = \left(1 - \dfrac{\lambda}{3}, -1 - \dfrac{\lambda}{3}, \lambda\right), \, \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**(b) (0.75 puntos) Estudia si es posible encontrar una solución en la que $z = 3$.** Para que exista cualquier solución, el sistema debe ser compatible, por lo que necesariamente **$m$ debe ser $0$**. En el caso $m = 0$, hemos hallado la solución general en función de $z = \lambda$. Si imponemos que $z = 3$: $$\lambda = 3$$ Sustituimos este valor en las expresiones de $x$ e $y$: $$x = 1 - \frac{3}{3} = 1 - 1 = 0$$ $$y = -1 - \frac{3}{3} = -1 - 1 = -2$$ Comprobamos en la tercera ecuación original con $m=0$: $$3(0) + 3(-2) + 2(3) = 0 - 6 + 6 = 0$$ Se cumple perfectamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí es posible si } m = 0, \text{ obteniendo la solución } (0, -2, 3)}$$