Estudio de una matriz con parámetro y operaciones matriciales

**(a) (1 punto) Calcula los valores de $x$ para los cuales la matriz $A$ no posee inversa.** Una matriz cuadrada $A$ no tiene inversa si y solo si su determinante es igual a cero ($|A| = 0$). Comenzamos calculando el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & -1 & -2 \\ -1 & x - 1 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(-1)(x - 1)(1) + (-1)(-3)(1) + (-2)(-1)(2)] - [(-2)(x - 1)(1) + (-1)(-1)(1) + (-3)(2)(-1)]$$ Operamos cada término: $$|A| = [-(x - 1) + 3 + 4] - [-2(x - 1) + 1 + 6]$$ $$|A| = [-x + 1 + 7] - [-2x + 2 + 7]$$ $$|A| = (-x + 8) - (-2x + 9)$$ $$|A| = -x + 8 + 2x - 9 = x - 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es regular (tiene inversa) si $|A| \neq 0$ y es singular (no tiene inversa) si $|A| = 0$.

Para que la matriz $A$ no posea inversa, igualamos el determinante a cero: $$|A| = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$$ Por tanto, la matriz $A$ no tiene inversa cuando el parámetro $x$ toma el valor $1$. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{x = 1}$$

**(b) (0.75 puntos) Calcula el rango de $A$ según los valores de $x$.** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Analizamos los casos según el determinante calculado anteriormente: **Caso 1: Si $x \neq 1$** En este caso, $|A| \neq 0$. Como el determinante de la matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, las tres filas son linealmente independientes. $$\text{rango}(A) = 3$$ **Caso 2: Si $x = 1$** Sustituimos $x = 1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos ahora un menor de orden 2 cuyo determinante sea distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (-1)(0) - (-1)(-1) = 0 - 1 = -1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango es 2. 💡 **Tip:** El rango de una matriz siempre es menor o igual al número de sus filas y columnas. Para matrices con parámetros, empieza siempre por los valores que anulan el determinante principal. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } x \neq 1, & \text{rango}(A) = 3 \\ \text{Si } x = 1, & \text{rango}(A) = 2 \end{cases}}$$

**(c) (0.75 puntos) Para $x = 1$, calcula en caso de que sea posible $A \cdot B$ y $A \cdot C$ o indica por qué no se puede realizar.** Primero comprobamos las dimensiones de las matrices para $x = 1$: - $A$ es una matriz de dimensión $3 \times 3$. - $B$ es una matriz columna de dimensión $3 \times 1$. - $C$ es una matriz fila de dimensión $1 \times 3$. Para que el producto de dos matrices $M \cdot N$ sea posible, el **número de columnas de la primera matriz ($M$) debe ser igual al número de filas de la segunda ($N$)**. - Para $A \cdot B$: Dimensiones $(3 \times \mathbf{3}) \cdot (\mathbf{3} \times 1)$. Coinciden ($3 = 3$), por lo que **se puede realizar** el producto y el resultado será una matriz $3 \times 1$. - Para $A \cdot C$: Dimensiones $(3 \times \mathbf{3}) \cdot (\mathbf{1} \times 3)$. No coinciden ($3 \neq 1$), por lo que **no es posible** realizar el producto $A \cdot C$. 💡 **Tip:** Recuerda siempre la regla de las dimensiones para el producto: $(m \times n) \cdot (n \times p) = (m \times p)$.

Realizamos el producto $A \cdot B$ para $x = 1$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos fila por columna: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} (-1)(1) + (-1)(-1) + (-2)(1) \\ (-1)(1) + (0)(-1) + (-3)(1) \\ (1)(1) + (2)(-1) + (1)(1) \end{pmatrix}$$ $$A \cdot B = \begin{pmatrix} -1 + 1 - 2 \\ -1 + 0 - 3 \\ 1 - 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{A \cdot B = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}; \quad A \cdot C \text{ no es posible porque } \text{cols}(A) \neq \text{filas}(C)}$$