Distribución Binomial: Control de calidad de huevos

Para resolver este ejercicio, primero identificamos la variable aleatoria y el modelo que sigue. Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de huevos no aptos (desechables) en una muestra de $n=5$ huevos. Cada huevo tiene dos posibilidades: ser apto o no ser apto. Como la selección es aleatoria e independiente, y la probabilidad de que un huevo no sea apto es constante ($p = 0.20$), estamos ante una **distribución binomial**: $$X \sim B(n, p) \Rightarrow X \sim B(5, 0.2)$$ Donde: - $n = 5$ (número de ensayos). - $p = 0.2$ (probabilidad de éxito: huevo no apto). - $q = 1 - p = 0.8$ (probabilidad de fracaso: huevo apto). La fórmula de la probabilidad para una binomial es: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ 💡 **Tip:** Identificar que los sucesos son independientes y tienen probabilidad constante es la clave para usar la distribución Binomial.

**a) (1 punto) Calcula la probabilidad de que tengamos que desechar alguno de los huevos seleccionados (al menos 1).** La expresión "al menos 1" significa que buscamos $P(X \ge 1)$. Es mucho más sencillo calcularlo mediante el suceso contrario (que no se deseche ninguno): $$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$$ Calculamos $P(X = 0)$: $$P(X=0) = \binom{5}{0} \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^5$$ $$P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.32768 = 0.32768$$ Ahora restamos de la unidad: $$P(X \ge 1) = 1 - 0.32768 = 0.67232$$ 💡 **Tip:** En probabilidad, frases como "al menos uno", "alguno" o "como mínimo uno" suelen resolverse más rápido con el complementario $1 - P(X=0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 1) = 0.67232}$$

**b) 1. (0,5 puntos) ¿Qué es más probable, que haya exactamente 2 huevos no aptos, o que haya exactamente 3 huevos no aptos? Obtén estas probabilidades.** Calculamos ambas probabilidades usando la fórmula de la binomial: Para $k=2$: $$P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^3$$ Recuerda que $\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$. Entonces: $$P(X=2) = 10 \cdot 0.04 \cdot 0.512 = 0.2048$$ Para $k=3$: $$P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot (0.2)^3 \cdot (0.8)^2$$ Sabemos que $\binom{5}{3} = \binom{5}{2} = 10$ por la propiedad de simetría de los números combinatorios. $$P(X=3) = 10 \cdot 0.008 \cdot 0.64 = 0.0512$$ Comparando los resultados: $$0.2048 \gt 0.0512 \Rightarrow P(X=2) \gt P(X=3)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Es más probable que haya exactamente 2 huevos no aptos.}}$$

**b) 2. (0,5 puntos) ¿Cómo razonarías la respuesta a la pregunta anterior sin hacer uso de la calculadora?** Podemos comparar las expresiones algebraicas de $P(X=2)$ y $P(X=3)$: 1. Sabemos que $\binom{5}{2} = \binom{5}{3} = 10$ debido a la propiedad $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$. 2. Escribimos el cociente de ambas probabilidades para compararlas: $$\frac{P(X=2)}{P(X=3)} = \frac{10 \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^3}{10 \cdot 0.2^3 \cdot 0.8^2}$$ 3. Simplificamos los términos comunes ($10$, $0.2^2$ y $0.8^2$): $$\frac{P(X=2)}{P(X=3)} = \frac{0.8}{0.2} = 4$$ Como el cociente es mayor que 1 ($4 \gt 1$), deducimos que el numerador es mayor que el denominador, por lo que **$P(X=2)$ es 4 veces más probable que $P(X=3)$**. Razonamiento intuitivo: Como la probabilidad de que un huevo sea no apto ($0.2$) es menor que la de ser apto ($0.8$), es lógico que los valores bajos de $X$ (pocos huevos no aptos) tengan mayor probabilidad que los valores altos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=2) \gt P(X=3) \text{ porque } q \gt p \text{ en el cociente de sus términos.}}$$