Probabilidad en una academia de danza y teatro

**a) (1 punto) Calcula la probabilidad de que practique algún tipo de danza (o los dos).** En primer lugar, definimos los sucesos asociados al experimento aleatorio y extraemos las probabilidades dadas en el enunciado en forma decimal: - $C$: El individuo practica danza clásica. - $K$: El individuo practica cabaret. - $T$: El individuo practica teatro. Los datos del problema son: - $P(C) = 17\% = 0,17$ - $P(K) = 45\% = 0,45$ - $P(C \cap K) = 5\% = 0,05$ (probabilidad de que practique ambas modalidades de danza). 💡 **Tip:** Para trabajar con probabilidades, es más cómodo convertir los porcentajes a números decimales dividiendo por $100$ ($17\% = 17/100 = 0,17$).

Para visualizar mejor la relación entre las modalidades de danza, podemos construir una tabla de contingencia. Aunque el ejercicio se puede resolver con fórmulas, la tabla nos ayuda a ver todos los casos posibles: $$\begin{array}{c|cc|c} & K & \overline{K} & \text{Total} \\\hline C & 0,05 & 0,12 & 0,17 \\ \overline{C} & 0,40 & 0,43 & 0,83 \\\hline \text{Total} & 0,45 & 0,55 & 1,00 \end{array}$$ Donde: - $P(C \cap \overline{K}) = P(C) - P(C \cap K) = 0,17 - 0,05 = 0,12$ - $P(\overline{C} \cap K) = P(K) - P(C \cap K) = 0,45 - 0,05 = 0,40$ - $P(\overline{C} \cap \overline{K}) = 1 - P(C \cup K)$

Practicar "algún tipo de danza (o los dos)" equivale a la unión de los sucesos $C$ y $K$, es decir, $P(C \cup K)$. Utilizamos la propiedad de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(C \cup K) = P(C) + P(K) - P(C \cap K)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(C \cup K) = 0,17 + 0,45 - 0,05$$ $$P(C \cup K) = 0,62 - 0,05 = 0,57$$ Esto significa que el $57\%$ de los individuos de la academia practica danza. 💡 **Tip:** Recuerda que restamos la intersección para no contar dos veces a las personas que realizan ambas actividades. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(C \cup K) = 0,57}$$

**b) (1 punto) Calcula la probabilidad de que practique solamente teatro.** El enunciado indica que en la academia se imparten clases de danza y teatro. Si un individuo no practica ningún tipo de danza (es decir, ni clásica ni cabaret), su actividad en la academia será solamente teatro. Por tanto, la probabilidad de practicar solamente teatro es el suceso contrario a practicar algún tipo de danza: $$P(\text{Solamente teatro}) = P(\overline{C \cup K})$$ Calculamos la probabilidad del suceso complementario: $$P(\overline{C \cup K}) = 1 - P(C \cup K)$$ $$P(\overline{C \cup K}) = 1 - 0,57 = 0,43$$ 💡 **Tip:** La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario siempre es $1$. Si el $57\%$ baila, el $43\%$ restante hace teatro. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(\text{Teatro}) = 0,43}$$