Volumen de un tetraedro y punto en el eje Y

El enunciado nos indica que el cuarto vértice $D$ se encuentra en el **eje $Y$**. Cualquier punto situado en el eje de ordenadas tiene sus componentes $x$ y $z$ nulas. Por tanto, podemos definir las coordenadas de $D$ como: $$D(0, y, 0)$$ Nuestro objetivo es encontrar el valor o valores de $y$ que satisfagan que el volumen del tetraedro sea de 10 unidades cúbicas.

Para calcular el volumen del tetraedro, necesitamos tres vectores que partan de un mismo vértice. Tomaremos el vértice $A$ como origen común y calcularemos los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$: $$\vec{AB} = B - A = (-2 - 1, 1 - 1, 0 - 1) = (-3, 0, -1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 1, 1 - 1, 3 - 1) = (-1, 0, 2)$$ $$\vec{AD} = D - A = (0 - 1, y - 1, 0 - 1) = (-1, y - 1, -1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector entre dos puntos $P$ y $Q$ se calcula restando las coordenadas del origen a las del extremo: $\vec{PQ} = Q - P$.

El volumen de un tetraedro viene dado por la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que lo definen: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$$ Calculamos primero el producto mixto mediante el determinante de la matriz formada por los vectores: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} -3 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & y-1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante (por ejemplo, desarrollando por la segunda columna que tiene dos ceros, o por Sarrus): $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = - (y-1) \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = - (y-1) [(-3) \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)]$$ $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = - (y-1) [-6 - 1] = - (y-1) (-7) = 7(y-1)$$ Si aplicamos Sarrus directamente: $$[(-3)\cdot 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \cdot (y-1)] - [(-1)\cdot 0 \cdot (-1) + (y-1)\cdot 2 \cdot (-3) + (-1)\cdot (-1) \cdot 0]$$ $$[0 + 0 + (y-1)] - [0 - 6(y-1) + 0] = (y-1) + 6(y-1) = 7(y-1)$$ $$\boxed{[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 7y - 7}$$

Sabemos que el volumen es $V = 10$. Sustituimos en la fórmula: $$10 = \frac{1}{6} |7y - 7|$$ Multiplicamos por 6 para despejar el valor absoluto: $$60 = |7y - 7|$$ 💡 **Tip:** La ecuación $|x| = a$ (con $a > 0$) genera dos posibles soluciones: $x = a$ y $x = -a$. Esto se debe a que el volumen es una magnitud física y siempre se toma en valor absoluto.

Tenemos dos casos para la ecuación con valor absoluto: **Caso 1:** $$7y - 7 = 60 \implies 7y = 67 \implies y_1 = \frac{67}{7}$$ **Caso 2:** $$7y - 7 = -60 \implies 7y = -53 \implies y_2 = -\frac{53}{7}$$ Por tanto, existen dos puntos posibles para el cuarto vértice $D$ que cumplen la condición del enunciado.

Las coordenadas del cuarto vértice $D$ pueden ser: ✅ **Soluciones:** $$\boxed{D_1\left(0, \frac{67}{7}, 0\right) \quad y \quad D_2\left(0, -\frac{53}{7}, 0\right)}$$