Discusión y resolución de un sistema homogéneo con parámetros

**a) (1 punto) Discute según los valores de $a \in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible).** En primer lugar, observamos que se trata de un **sistema homogéneo**, ya que todos los términos independientes son cero. Esto implica que el sistema siempre será **compatible**, pues al menos tiene la solución trivial $(0, 0, 0)$. Escribimos la matriz de coeficientes $A$ asociada al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a^2 \\ 1 & 1 & 2a \end{pmatrix}$$ Como es un sistema homogéneo, el rango de la matriz ampliada $A^*$ siempre será igual al rango de $A$. Por tanto, la discusión se centrará en el valor del determinante de $A$. 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas es Compatible Determinado si $|A| \neq 0$ (solo solución trivial) e Indeterminado si $|A| = 0$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a^2 \\ 1 & 1 & 2a \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot 2a) + (a \cdot a^2 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - [ (1 \cdot 1 \cdot 1) + (a^2 \cdot 1 \cdot 1) + (2a \cdot 1 \cdot a) ]$$ $$|A| = (2a + a^3 + 1) - (1 + a^2 + 2a^2)$$ $$|A| = a^3 + 2a + 1 - 1 - 3a^2$$ $$|A| = a^3 - 3a^2 + 2a$$ Para discutir el sistema, igualamos el determinante a cero: $$a^3 - 3a^2 + 2a = 0 \implies a(a^2 - 3a + 2) = 0$$ Esto nos da la primera solución $a = 0$. Para el paréntesis, resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos $a = 2$ y $a = 1$. Los valores críticos son **$a = 0$, $a = 1$ y $a = 2$**.

Aplicamos el Teorema de Rouché-Frobenius analizando los rangos en función de $a$: * **Caso 1: $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\}$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rang}(A) = 3$. Como el número de incógnitas es 3, el sistema es un **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. La única solución es la trivial: $(0, 0, 0)$. * **Caso 2: $a = 0, a = 1$ o $a = 2$** En estos casos, $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) \lt 3$. Como el sistema es homogéneo, $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) \lt 3$. El sistema es un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones además de la trivial. ✅ **Resultado de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 0, 1, 2 \implies \text{SCD (Solución única)} \\ a = 0, 1, 2 \implies \text{SCI (Infinitas soluciones)} \end{cases}}$$

**b) (1 punto) Resuelve el sistema para $a = 0$.** Sustituimos $a = 0$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + 0y + z = 0 \\ x + y + 0^2z = 0 \\ x + y + 2(0)z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + z = 0 \\ x + y = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$$ Observamos que la segunda y la tercera ecuación son idénticas, por lo que el sistema se reduce a: $$\begin{cases} x + z = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$$ Como tenemos 2 ecuaciones y 3 incógnitas, tomamos una variable como parámetro. Sea **$x = \lambda$**. De la primera ecuación: $$z = -x = -\lambda$$ De la segunda ecuación: $$y = -x = -\lambda$$ 💡 **Tip:** Para resolver un SCI, expresa todas las variables en función de un parámetro (habitualmente $\lambda$, $t$ o $k$). ✅ **Resultado (solución para $a=0$):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, -\lambda, -\lambda) \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$