Rango de una matriz y cálculo de la matriz inversa

**a) (1 punto) Estudia, según los valores de $m \in \mathbb{R}$, el rango de la matriz $P = AB^T + C$, donde $B^T$ es la matriz traspuesta de $B$.** En primer lugar, obtenemos la matriz traspuesta de $B$ intercambiando sus filas por columnas: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \implies B^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos el producto $A \cdot B^T$. Dado que $A$ es $3 \times 2$ y $B^T$ es $2 \times 3$, el resultado será una matriz $3 \times 3$: $$AB^T = \begin{pmatrix} 1 - m & -1 \\ 2 & 2m \\ m - 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$AB^T = \begin{pmatrix} (1-m) \cdot 1 + (-1) \cdot 0 & (1-m) \cdot 0 + (-1) \cdot 1 & (1-m) \cdot 1 + (-1) \cdot 0 \\ 2 \cdot 1 + 2m \cdot 0 & 2 \cdot 0 + 2m \cdot 1 & 2 \cdot 1 + 2m \cdot 0 \\ (m-1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 & (m-1) \cdot 0 + 1 \cdot 1 & (m-1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 \end{pmatrix}$$ $$AB^T = \begin{pmatrix} 1-m & -1 & 1-m \\ 2 & 2m & 2 \\ m-1 & 1 & m-1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos los elementos de las filas de la primera por los de las columnas de la segunda.

Sumamos la matriz $C$ al producto obtenido anteriormente para hallar $P$: $$P = AB^T + C = \begin{pmatrix} 1-m & -1 & 1-m \\ 2 & 2m & 2 \\ m-1 & 1 & m-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$P = \begin{pmatrix} 1-m+1 & -1+1 & 1-m+1 \\ 2+0 & 2m+1 & 2+1 \\ m-1+0 & 1+0 & m-1+1 \end{pmatrix}$$ $$P = \begin{pmatrix} 2-m & 0 & 2-m \\ 2 & 2m+1 & 3 \\ m-1 & 1 & m \end{pmatrix}$$ $$\boxed{P = \begin{pmatrix} 2-m & 0 & 2-m \\ 2 & 2m+1 & 3 \\ m-1 & 1 & m \end{pmatrix}}$$

Para estudiar el rango de $P$, calculamos su determinante. Al tener un cero en la primera fila, desarrollamos por dicha fila: $$|P| = \begin{vmatrix} 2-m & 0 & 2-m \\ 2 & 2m+1 & 3 \\ m-1 & 1 & m \end{vmatrix}$$ $$|P| = (2-m) \begin{vmatrix} 2m+1 & 3 \\ 1 & m \end{vmatrix} - 0 + (2-m) \begin{vmatrix} 2 & 2m+1 \\ m-1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos los determinantes $2 \times 2$: $$|P| = (2-m) [ (2m^2+m) - 3 ] + (2-m) [ 2 - (2m+1)(m-1) ]$$ $$|P| = (2-m) [ 2m^2+m - 3 + 2 - (2m^2 - 2m + m - 1) ]$$ $$|P| = (2-m) [ 2m^2 + m - 1 - (2m^2 - m - 1) ]$$ $$|P| = (2-m) [ 2m^2 + m - 1 - 2m^2 + m + 1 ]$$ $$|P| = (2-m) [ 2m ] = 4m - 2m^2$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz de orden 3 nos indica si el rango es máximo (3) o menor que 3.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$4m - 2m^2 = 0 \implies 2m(2 - m) = 0 \implies m = 0, \; m = 2$$ **Caso 1: $m \neq 0$ y $m \neq 2$** Si $m$ es distinto de $0$ y $2$, el determinante es distinto de cero ($|P| \neq 0$), por lo tanto el rango es máximo: $$\text{rg}(P) = 3$$ **Caso 2: $m = 0$** La matriz es $P = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Como $|P|=0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(P) = 2$$ **Caso 3: $m = 2$** La matriz es $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. Como tiene una fila de ceros, $\text{rg}(P) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 5 = -3 \neq 0 \implies \text{rg}(P) = 2$$ ✅ **Resultado (estudio del rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}, & \text{rg}(P) = 3 \\ \text{Si } m = 0 \text{ o } m = 2, & \text{rg}(P) = 2 \end{cases}}$$

**b) (1 punto) Para el valor $m = 1$, calcula la inversa de la matriz $P$ del apartado anterior.** Sustituimos $m = 1$ en la matriz $P$: $$P = \begin{pmatrix} 2-1 & 0 & 2-1 \\ 2 & 2(1)+1 & 3 \\ 1-1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante usando el valor de $m=1$ en la expresión hallada antes $|P| = 4m - 2m^2$: $$|P| = 4(1) - 2(1)^2 = 4 - 2 = 2$$ Como $|P| \neq 0$, la matriz es invertible.

Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(P)$ obteniendo los cofactores $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$: $$A_{11} = +\begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0; \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2; \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2$$ $$A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1; \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1; \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$$ $$A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = -3; \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -1; \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3$$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Adj}(P) = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La matriz inversa se calcula como $P^{-1} = \frac{1}{|P|} [\text{Adj}(P)]^T$.

Trasponemos la matriz de adjuntos: $$[\text{Adj}(P)]^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 \\ -2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|P| = 2$: $$P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 \\ -2 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & -3/2 \\ -1 & 1/2 & -1/2 \\ 1 & -1/2 & 3/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & -3/2 \\ -1 & 1/2 & -1/2 \\ 1 & -1/2 & 3/2 \end{pmatrix}}$$