Ecuaciones matriciales y potencias n-ésimas de una matriz

**a) (1 punto) Determina el valor de $k \in \mathbb{R}$ para que se verifique $A^2 = 3I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.** En primer lugar, calculamos el cuadrado de la matriz $A$ multiplicándola por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ -1 & k + 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & k \\ -1 & k + 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: $$A^2 = \begin{pmatrix} (1)(1) + (k)(-1) & (1)(k) + (k)(k+1) \\ (-1)(1) + (k+1)(-1) & (-1)(k) + (k+1)(k+1) \end{pmatrix}$$ Simplificamos los elementos de la matriz resultante: - $a_{11} = 1 - k$ - $a_{12} = k + k^2 + k = k^2 + 2k$ - $a_{21} = -1 - k - 1 = -k - 2$ - $a_{22} = -k + (k^2 + 2k + 1) = k^2 + k + 1$ Obtenemos: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 - k & k^2 + 2k \\ -k - 2 & k^2 + k + 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, se multiplica cada fila de la primera por cada columna de la segunda.

Igualamos la matriz $A^2$ obtenida anteriormente a la matriz $3I$, donde $I$ es la identidad de orden 2: $$\begin{pmatrix} 1 - k & k^2 + 2k \\ -k - 2 & k^2 + k + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, deben serlo todos sus elementos correspondientes. Planteamos el sistema de ecuaciones: 1) $1 - k = 3 \implies k = -2$ 2) $k^2 + 2k = 0 \implies k(k + 2) = 0 \implies k = 0$ o $k = -2$ 3) $-k - 2 = 0 \implies k = -2$ 4) $k^2 + k + 1 = 3 \implies k^2 + k - 2 = 0$ Comprobamos si $k = -2$ cumple todas las condiciones: - En la ecuación 4): $(-2)^2 + (-2) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$. Se cumple. El único valor de $k$ que satisface simultáneamente las cuatro ecuaciones es $k = -2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = -2}$$

**b) (1 punto) Calcula, para $k = 0$, la matriz $B^n$ con $B = 2A - I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2, y $n \in \mathbb{N}$.** Si $k = 0$, la matriz $A$ es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos la matriz $B$ sustituyendo $A$ en la expresión $B = 2A - I$: $$B = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El producto de un escalar por una matriz multiplica a todos sus elementos, y la resta de matrices se hace elemento a elemento.

Para hallar $B^n$, calculamos las primeras potencias para observar si existe un patrón: $B^1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ $$B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2-2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$$ $$B^3 = B^2 \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -4-2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -6 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que el elemento $b_{21}$ sigue una progresión aritmética de la forma $-2n$, mientras que el resto de elementos permanecen constantes ($1, 0, 1$). Por inducción, podemos afirmar que: $$B^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2n & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En ejercicios de potencias $n$-ésimas, calcula $B^2$ y $B^3$; normalmente el patrón se vuelve evidente en el tercer paso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2n & 1 \end{pmatrix}}$$