Estudio de asíntotas y recta tangente

**a) (1,25 puntos) Estudia la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, así como de ramas parabólicas. Determina las asíntotas cuando existan.** Primero determinamos el dominio de la función $f(x) = \frac{x^2 + x}{3 - x^2}$. Al ser una función racional, el dominio son todos los reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$3 - x^2 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$$ $$D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$$ Las asíntotas verticales son candidatas en los puntos donde se anula el denominador y no el numerador. Calculamos los límites laterales en $x = \sqrt{3}$ y $x = -\sqrt{3}$: - En $x = \sqrt{3}$: $$\lim_{x \to \sqrt{3}} \frac{x^2+x}{3-x^2} = \frac{3+\sqrt{3}}{0} = \infty$$ - En $x = -\sqrt{3}$: $$\lim_{x \to -\sqrt{3}} \frac{x^2+x}{3-x^2} = \frac{3-\sqrt{3}}{0} = \infty$$ 💡 **Tip:** Si el límite de la función en un punto $x=a$ tiende a $\infty$, entonces existe una asíntota vertical en $x=a$. ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{x = \sqrt{3} \quad \text{y} \quad x = -\sqrt{3}}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+x}{3-x^2}$$ Como los grados del numerador y del denominador son iguales (grado 2), el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+x}{3-x^2} = \frac{1}{-1} = -1$$ 💡 **Tip:** Si $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = L$ (siendo $L$ un número real), entonces $y = L$ es la asíntota horizontal. ✅ **Resultado (Asíntota Horizontal):** $$\boxed{y = -1}$$

Dado que existe una asíntota horizontal tanto para $x \to +\infty$ como para $x \to -\infty$, podemos concluir que **no existen asíntotas oblicuas**. Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes en el mismo sentido del infinito. Del mismo modo, al tener un comportamiento asintótico de grado 0 (horizontal), **no existen ramas parabólicas**, ya que estas requieren que el límite de la función sea infinito y no exista asíntota oblicua. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No hay asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas}}$$

**b) (0,75 puntos) Calcula la recta tangente a la función en el punto $x = 1$.** Primero, calculamos la ordenada del punto de tangencia hallando $f(1)$: $$f(1) = \frac{1^2 + 1}{3 - 1^2} = \frac{2}{2} = 1 \implies \text{Punto } P(1, 1)$$ Ahora calculamos la pendiente de la recta tangente, que es el valor de la derivada $f'(1)$. Derivamos la función usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x+1)(3-x^2) - (x^2+x)(-2x)}{(3-x^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{6x - 2x^3 + 3 - x^2 + 2x^3 + 2x^2}{(3-x^2)^2} = \frac{x^2 + 6x + 3}{(3-x^2)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Calculamos la pendiente en $x = 1$: $$m = f'(1) = \frac{1^2 + 6(1) + 3}{(3-1^2)^2} = \frac{10}{2^2} = \frac{10}{4} = 2.5$$ Utilizamos la ecuación punto-pendiente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$: $$y - 1 = 2.5(x - 1)$$ $$y = 2.5x - 2.5 + 1$$ $$y = 2.5x - 1.5$$ O bien en forma de fracción: $$y = \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 2.5x - 1.5}$$