Área encerrada entre dos funciones parabólicas

Para hallar el área del recinto limitado por las dos gráficas, primero debemos encontrar los puntos donde ambas funciones se intersecan. Resolvemos la ecuación $f(x) = g(x)$: $$3x + 2x^2 = x^2 + 4x + 2$$ Agrupamos todos los términos en un miembro para obtener una ecuación de segundo grado: $$(2x^2 - x^2) + (3x - 4x) - 2 = 0$$ $$x^2 - x - 2 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: $$x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$$ Los puntos de corte son **$x = -1$** y **$x = 2$**. Estos serán los límites de integración. 💡 **Tip:** Los puntos de corte definen el intervalo de la integral definida necesaria para calcular el área.

Debemos determinar cuál de las dos funciones queda por encima en el intervalo $(-1, 2)$ para plantear la integral correctamente como $\int (f_{superior} - f_{inferior}) \, dx$. Tomamos un punto cualquiera dentro del intervalo, por ejemplo $x = 0$: - $f(0) = 3(0) + 2(0)^2 = 0$ - $g(0) = 0^2 + 4(0) + 2 = 2$ Como $g(0) \gt f(0)$, la función **$g(x)$ está por encima de $f(x)$** en el intervalo $(-1, 2)$. Definimos la función diferencia $h(x) = g(x) - f(x)$: $$h(x) = (x^2 + 4x + 2) - (3x + 2x^2) = -x^2 + x + 2$$ $$\boxed{h(x) = -x^2 + x + 2}$$

El área $A$ se calcula mediante la integral definida de la función diferencia en el intervalo $[-1, 2]$: $$A = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-x^2 + x + 2) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=2$): $$G(2) = -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2(2) = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = -\frac{8}{3} + 6 = \frac{-8 + 18}{3} = \frac{10}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=-1$): $$G(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{2 + 3 - 12}{6} = -\frac{7}{6}$$ Restamos los valores: $$A = G(2) - G(-1) = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si obtienes un resultado negativo, es probable que hayas invertido el orden de las funciones en la resta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 4,5 \text{ u}^2}$$