Cálculo de parámetros en un límite

**Calcula los valores de $a, b \in \mathbb{R}$ para que $\lim_{x \to 1} f(x) = L \in \mathbb{R}$, y determina el valor de dicho límite.** Primero, evaluamos el límite del denominador cuando $x \to 1$: $$\lim_{x \to 1} (-x^3 + 4x^2 - 5x + 2) = -1^3 + 4(1)^2 - 5(1) + 2 = -1 + 4 - 5 + 2 = 0.$$ Como el denominador tiende a $0$, para que el límite sea un número real $L$, es necesario que el numerador también tienda a $0$ en $x=1$. Si el numerador no fuera $0$, el límite sería $\infty$ (asíntota vertical), lo cual contradice que $L \in \mathbb{R}$. Por tanto, se debe cumplir la indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$. 💡 **Tip:** Si en un límite racional el denominador se anula, el numerador debe anularse también para que el resultado pueda ser un número finito (evitando la asíntota).

Imponemos que el valor del numerador en $x=1$ sea igual a $0$: $$P(1) = 2(1)^3 + a(1)^2 + b(1) + 3 = 0$$ $$2 + a + b + 3 = 0 \implies a + b = -5.$$ Tenemos nuestra primera ecuación: $$\boxed{a + b = -5}$$ Al cumplirse esto, podemos aplicar la **Regla de L'Hôpital** para resolver la indeterminación $\frac{0}{0}$: $$\lim_{x \to 1} \frac{2x^3 + ax^2 + bx + 3}{-x^3 + 4x^2 - 5x + 2} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(2x^3 + ax^2 + bx + 3)}{\frac{d}{dx}(-x^3 + 4x^2 - 5x + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{6x^2 + 2ax + b}{-3x^2 + 8x - 5}.$$

Evaluamos el denominador de la nueva expresión en $x=1$: $$\lim_{x \to 1} (-3x^2 + 8x - 5) = -3(1)^2 + 8(1) - 5 = -3 + 8 - 5 = 0.$$ Nuevamente, para que el límite sea finito, el numerador derivado también debe ser $0$ en $x=1$ (de lo contrario, el límite volvería a ser $\infty$): $$6(1)^2 + 2a(1) + b = 0 \implies 6 + 2a + b = 0 \implies 2a + b = -6.$$ 💡 **Tip:** Si tras aplicar L'Hôpital una vez el denominador sigue siendo cero, debemos forzar al numerador a ser cero nuevamente para poder aplicar la regla una segunda vez.

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones obtenidas: $$\begin{cases} a + b = -5 \\ 2a + b = -6 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda: $$(2a + b) - (a + b) = -6 - (-5)$$ $$a = -1.$$ Sustituimos $a = -1$ en la primera ecuación: $$-1 + b = -5 \implies b = -4.$$ ✅ **Valores de los parámetros:** $$\boxed{a = -1, \quad b = -4}$$

Sustituimos los valores de $a$ y $b$ en la expresión del límite tras la primera derivada y aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{6x^2 + 2(-1)x + (-4)}{-3x^2 + 8x - 5} = \lim_{x \to 1} \frac{6x^2 - 2x - 4}{-3x^2 + 8x - 5} \quad \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Derivamos numerador y denominador de nuevo: $$L = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(6x^2 - 2x - 4)}{\frac{d}{dx}(-3x^2 + 8x - 5)} = \lim_{x \to 1} \frac{12x - 2}{-6x + 8}.$$ Ahora evaluamos en $x=1$: $$L = \frac{12(1) - 2}{-6(1) + 8} = \frac{10}{2} = 5.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -1, \quad b = -4, \quad L = 5}$$