Continuidad, asíntotas y cálculo de áreas

**a) (1 punto) Determina los valores de $a \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$ y tenga la asíntota horizontal $y = 0$.** Analizamos primero la continuidad de la función $f(x) = x \cdot e^{-ax^2}$. Esta función es el producto de dos funciones elementales: - Una función polinómica $g(x) = x$, que es continua en todo $\mathbb{R}$. - Una función exponencial $h(x) = e^{-ax^2}$, cuya base es el número $e$ y cuyo exponente es un polinomio de segundo grado $-ax^2$. Dado que los polinomios y la función exponencial son continuos en todo su dominio, su composición también lo es. Por tanto, el producto de ambas es continuo en todo su dominio. ✅ **Conclusión de continuidad:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \text{ para cualquier valor de } a \in \mathbb{R}}$$

Para que la función tenga la asíntota horizontal $y = 0$, se debe cumplir que: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$$ Estudiamos el límite cuando $x \to +\infty$ según el valor de $a$: 1. **Si $a > 0$:** $$\lim_{x \to +\infty} xe^{-ax^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{ax^2}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2ax \cdot e^{ax^2}} = \frac{1}{\infty} = 0$$ 2. **Si $a = 0$:** $$f(x) = x \cdot e^{0} = x \implies \lim_{x \to +\infty} x = +\infty$$ No tiene asíntota horizontal. 3. **Si $a < 0$:** Sea $a = -k$ con $k > 0$, entonces $f(x) = x \cdot e^{kx^2}$. $$\lim_{x \to +\infty} x e^{kx^2} = +\infty$$ No tiene asíntota horizontal. El mismo razonamiento se aplica para $x \to -\infty$. Por tanto, para que el límite sea $0$, el coeficiente $a$ debe ser positivo. 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista una asíntota horizontal $y=L$, el límite en el infinito debe ser un valor finito $L$. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{a > 0}$$

**b) (1 punto) Calcula, para el valor $a = \frac{1}{2}$, el área que encierra la gráfica de la curva $f(x)$ entre el eje $X$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$.** Sustituimos $a = \frac{1}{2}$ en la función: $$f(x) = x e^{-\frac{1}{2}x^2}$$ Para calcular el área, primero comprobamos si la función corta al eje $X$ en el intervalo $(0, 1)$: $$x e^{-\frac{1}{2}x^2} = 0 \implies x = 0$$ Como no hay raíces en el interior del intervalo y $f(x) > 0$ para $x \in (0, 1)$, el área viene dada por la integral definida: $$A = \int_{0}^{1} x e^{-\frac{1}{2}x^2} dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre es positiva. Si la función fuera negativa en el intervalo, deberíamos tomar el valor absoluto de la integral.

Para resolver la integral $\int x e^{-\frac{1}{2}x^2} dx$, observamos que la derivada del exponente $-\frac{1}{2}x^2$ es $-x$. Podemos ajustar la constante para que sea una integral casi inmediata de tipo exponencial $\int u' e^u dx = e^u + C$: $$\int x e^{-\frac{1}{2}x^2} dx = - \int (-x) e^{-\frac{1}{2}x^2} dx = -e^{-\frac{1}{2}x^2} + C$$ Aplicamos la **regla de Barrow** entre los límites $0$ y $1$: $$A = \left[ -e^{-\frac{1}{2}x^2} \right]_{0}^{1} = \left( -e^{-\frac{1}{2}(1)^2} \right) - \left( -e^{-\frac{1}{2}(0)^2} \right)$$ $$A = -e^{-1/2} - (-e^0) = -\frac{1}{\sqrt{e}} + 1$$ Simplificando el resultado: $$A = 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \text{ unidades}^2 \approx 0.3935 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final (b):** $$\boxed{A = 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \text{ u}^2}$$