Distribución Normal: Peso de recién nacidos

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido en esta localidad tenga bajo peso?** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ que representa el peso de los recién nacidos en gramos. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal con los siguientes parámetros: - Media: $\mu = 3300$ g - Desviación típica: $\sigma = 465$ g Por tanto, podemos escribirlo como: $X \sim N(3300, 465)$. El enunciado define que un recién nacido tiene bajo peso si su peso es inferior a 2500 gramos. Buscamos calcular: $$P(X \lt 2500)$$ 💡 **Tip:** Para resolver cualquier problema de distribución normal $N(\mu, \sigma)$, debemos realizar el proceso de tipificación o estandarización para poder usar la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$.

Para tipificar la variable, aplicamos el cambio $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X \lt 2500) = P\left(Z \lt \frac{2500 - 3300}{465}\right)$$ $$P(X \lt 2500) = P\left(Z \lt \frac{-800}{465}\right) \approx P(Z \lt -1.72)$$ Como la tabla de la normal estándar solo ofrece valores positivos y de la forma $P(Z \le z)$, aplicamos las propiedades de simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \lt -1.72) = P(Z \gt 1.72) = 1 - P(Z \le 1.72)$$ Buscamos el valor $1.72$ en la tabla $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1.72) = 0.9573$$ Sustituimos: $$P(X \lt 2500) = 1 - 0.9573 = 0.0427$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 2500) = 0.0427}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que por simetría $P(Z \lt -a) = P(Z \gt a)$ y que la probabilidad total bajo la curva es 1.

**b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido en esta localidad tenga un peso entre 3500 y 4000 gramos?** En este apartado nos piden calcular la probabilidad de que el peso esté comprendido entre dos valores, es decir: $$P(3500 \lt X \lt 4000)$$ Tipificamos ambos extremos del intervalo usando la misma fórmula $Z = \dfrac{X - 3300}{465}$: - Para $x_1 = 3500$: $z_1 = \dfrac{3500 - 3300}{465} = \dfrac{200}{465} \approx 0.43$ - Para $x_2 = 4000$: $z_2 = \dfrac{4000 - 3300}{465} = \dfrac{700}{465} \approx 1.51$ Por tanto, la probabilidad solicitada es: $$P(0.43 \lt Z \lt 1.51)$$

Para calcular la probabilidad de un intervalo en la normal, restamos las funciones de distribución de los extremos: $$P(0.43 \lt Z \lt 1.51) = P(Z \le 1.51) - P(Z \le 0.43)$$ Buscamos ambos valores en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$: - Para $z = 1.51$, la probabilidad es $0.9345$ - Para $z = 0.43$, la probabilidad es $0.6664$ Calculamos la diferencia: $$P(3500 \lt X \lt 4000) = 0.9345 - 0.6664 = 0.2681$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(3500 \lt X \lt 4000) = 0.2681}$$ 💡 **Tip:** En una distribución continua como la Normal, la probabilidad de un punto exacto es cero, por lo que usar $\lt$ o $\le$ no altera el resultado numérico.