Ortogonalidad de vectores y volumen de un tetraedro

**a) (1 punto) Dados los siguientes vectores: $\vec{v}_1 = a\vec{u}_1 - 2\vec{u}_2 + 3\vec{u}_3$, $\vec{v}_2 = -\vec{u}_1 + a\vec{u}_2 + \vec{u}_3$, determina el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que los vectores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ sean ortogonales, sabiendo que los vectores $\{\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\}$ son ortogonales y de módulo igual a 1.** Dos vectores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ son **ortogonales** si su producto escalar es igual a cero: $$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$$ Sustituimos las expresiones de los vectores dadas en el enunciado: $$(a\vec{u}_1 - 2\vec{u}_2 + 3\vec{u}_3) \cdot (-\vec{u}_1 + a\vec{u}_2 + \vec{u}_3) = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un conjunto de vectores es ortonormal (ortogonales y de módulo 1), se cumple que $\vec{u}_i \cdot \vec{u}_j = 0$ si $i \neq j$ y $\vec{u}_i \cdot \vec{u}_i = |\vec{u}_i|^2 = 1$.

Aplicamos la propiedad distributiva del producto escalar respecto a la suma. Gracias a que $\{\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\}$ son ortonormales, los productos cruzados (como $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2$) son nulos, por lo que el producto escalar se simplifica a los coeficientes de los mismos componentes: $$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = a(-1)(\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_1) + (-2)(a)(\vec{u}_2 \cdot \vec{u}_2) + (3)(1)(\vec{u}_3 \cdot \vec{u}_3)$$ Como el módulo es 1, $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_1 = 1$, $\vec{u}_2 \cdot \vec{u}_2 = 1$ y $\vec{u}_3 \cdot \vec{u}_3 = 1$: $$-a - 2a + 3 = 0$$ $$-3a + 3 = 0$$ $$3a = 3 \implies a = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$

**b) (1 punto) Calcula el volumen del tetraedro formado por los vectores $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ y $\vec{v}_3 = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$ siendo $\vec{v}_1 = (1, 0, -2)$ y $\vec{v}_2 = (3, 1, 0)$.** Primero, calculamos el vector $\vec{v}_3$ sumando las componentes de $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$: $$\vec{v}_3 = (1, 0, -2) + (3, 1, 0) = (1+3, 0+1, -2+0) = (4, 1, -2)$$ Ahora tenemos los tres vectores que definen el tetraedro: $$\vec{v}_1 = (1, 0, -2), \quad \vec{v}_2 = (3, 1, 0), \quad \vec{v}_3 = (4, 1, -2)$$ 💡 **Tip:** El volumen de un tetraedro definido por tres vectores concurrentes en un vértice es la sexta parte del valor absoluto de su producto mixto: $V = \frac{1}{6} |[\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3]|$, donde el producto mixto coincide con el determinante de la matriz formada por los vectores.

Calculamos el determinante formado por los vectores $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ y $\vec{v}_3$ utilizando la regla de Sarrus: $$[\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$= [(1)(1)(-2) + (0)(0)(4) + (-2)(3)(1)] - [(-2)(1)(4) + (0)(3)(-2) + (1)(0)(1)]$$ $$= [-2 + 0 - 6] - [-8 + 0 + 0]$$ $$= -8 - (-8) = -8 + 8 = 0$$ 💡 **Observación teórica:** El determinante es cero porque el vector $\vec{v}_3$ es combinación lineal de $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ (su suma). Esto implica que los tres vectores son **coplanarios** (están en el mismo plano).

Dado que el producto mixto es cero, aplicamos la fórmula del volumen: $$V = \frac{1}{6} |0| = 0$$ Cuando los vectores son linealmente dependientes, no pueden formar un sólido tridimensional, por lo que el volumen del tetraedro es nulo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = 0 \text{ u}^3}$$