Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetros

**a) (1 punto) Discute según los valores de $a \in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible).** En primer lugar, escribimos la matriz de los coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & a \\ 4 & -3 & 0 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 3 & 1 & 5 \\ 2 & 0 & a & -4 \\ 4 & -3 & 0 & a+1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que relaciona los rangos de estas matrices con el número de incógnitas ($n=3$).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & a \\ 4 & -3 & 0 \end{vmatrix} = [(-1) \cdot 0 \cdot 0 + 3 \cdot a \cdot 4 + 1 \cdot 2 \cdot (-3)] - [4 \cdot 0 \cdot 1 + (-3) \cdot a \cdot (-1) + 0 \cdot 2 \cdot 3]$$ $$|A| = [0 + 12a - 6] - [0 + 3a + 0] = 12a - 6 - 3a = 9a - 6$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$9a - 6 = 0 \implies 9a = 6 \implies a = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** El valor de $a$ que hace que el determinante sea cero es el que separa los casos de sistema determinado de los otros casos.

Si $a \neq \frac{2}{3}$, entonces el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - $\text{rango}(A) = 3$ - Como la matriz ampliada $A^*$ tiene dimensión $3 \times 4$, su rango máximo es 3, por lo que $\text{rango}(A^*) = 3$. - El número de incógnitas es $n = 3$. Al cumplirse que $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**: $$\boxed{\text{Si } a \neq \frac{2}{3}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $a = \frac{2}{3}$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Veamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 6 = -6 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ analizando el determinante formado por las dos primeras columnas de $A$ y la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & 3 & 5 \\ 2 & 0 & -4 \\ 4 & -3 & \frac{2}{3} + 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & 3 & 5 \\ 2 & 0 & -4 \\ 4 & -3 & \frac{5}{3} \end{vmatrix}$$ $$= [0 + (-48) + (-30)] - [0 + 12 + 10] = -78 - 22 = -100 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rango}(A^*) = 3$. 💡 **Tip:** Si el rango de la matriz de coeficientes es menor que el de la ampliada, el sistema nunca tendrá solución.

Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rango}(A) = 2$ y $\text{rango}(A^*) = 3$, los rangos son distintos ($2 \neq 3$). ✅ **Resultado de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 2/3: \text{ Sistema Compatible Determinado} \\ \text{Si } a = 2/3: \text{ Sistema Incompatible} \end{cases}}$$

**b) (1 punto) Resuelve el sistema para $a=1$.** Como $a=1 \neq 2/3$, estamos ante un **Sistema Compatible Determinado**. El sistema es: $$\begin{cases} -x + 3y + z = 5 \\ 2x + z = -4 \\ 4x - 3y = 2 \end{cases}$$ Calculamos los determinantes para aplicar la **Regla de Cramer**. Sabemos por el apartado anterior que $|A| = 9(1) - 6 = 3$. Determinante de la incógnita $x$: $$|A_x| = \begin{vmatrix} 5 & 3 & 1 \\ -4 & 0 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \end{vmatrix} = (0+6+12) - (0-15+0) = 18 + 15 = 33 \implies x = \frac{33}{3} = 11$$ Determinante de la incógnita $y$: $$|A_y| = \begin{vmatrix} -1 & 5 & 1 \\ 2 & -4 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (0+20+4) - (-16-2+0) = 24 + 18 = 42 \implies y = \frac{42}{3} = 14$$ Determinante de la incógnita $z$: $$|A_z| = \begin{vmatrix} -1 & 3 & 5 \\ 2 & 0 & -4 \\ 4 & -3 & 2 \end{vmatrix} = (0-48-30) - (0+12-12) = -78 - 0 = -78 \implies z = \frac{-78}{3} = -26$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 11, \quad y = 14, \quad z = -26}$$