Propiedades de determinantes y cálculo de matriz inversa

**a) (1 punto) Sabiendo que $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ a & b & c \end{vmatrix} = -2$, calcula justificadamente $\begin{vmatrix} -a + 2 & -c + 2 & -b + 2 \\ x/2 & z/2 & y/2 \\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix}$.** Para resolver este ejercicio aplicaremos las propiedades de los determinantes para transformar el determinante pedido en función del determinante conocido. En primer lugar, observamos que en la segunda fila ($F_2$) todos los elementos están multiplicados por $1/2$ y en la tercera fila ($F_3$) todos son múltiplos de $3$. Podemos extraer estos factores fuera del determinante: $$\begin{vmatrix} -a + 2 & -c + 2 & -b + 2 \\ x/2 & z/2 & y/2 \\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdot \frac{1}{2} \begin{vmatrix} -a + 2 & -c + 2 & -b + 2 \\ x & z & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \frac{3}{2} \begin{vmatrix} -a + 2 & -c + 2 & -b + 2 \\ x & z & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

A continuación, para que las variables $x, y, z$ y $a, b, c$ coincidan en orden con el determinante dato, intercambiamos la segunda columna ($C_2$) y la tercera columna ($C_3$). Al intercambiar dos columnas, el determinante cambia de signo: $$\frac{3}{2} \begin{vmatrix} -a + 2 & -c + 2 & -b + 2 \\ x & z & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -\frac{3}{2} \begin{vmatrix} -a + 2 & -b + 2 & -c + 2 \\ x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Ahora, aplicamos la propiedad de linealidad para separar la primera fila en suma de dos determinantes: $$-\frac{3}{2} \left( \begin{vmatrix} -a & -b & -c \\ x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \right)$$ 💡 **Tip:** Si una fila es suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse en la suma de dos determinantes que mantienen las demás filas iguales.

Analizamos los dos determinantes resultantes: 1. En el segundo determinante, la primera fila $F_1 = (2, 2, 2)$ es proporcional a la tercera fila $F_3 = (1, 1, 1)$ ya que $F_1 = 2 \cdot F_3$. Por tanto, su valor es **0**. 2. En el primer determinante, extraemos el factor $-1$ de la primera fila: $$-\frac{3}{2} \begin{vmatrix} -a & -b & -c \\ x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -\frac{3}{2} \cdot (-1) \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \frac{3}{2} \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Para llegar al determinante original, intercambiamos $F_1$ y $F_3$ (cambia el signo): $$\frac{3}{2} \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -\frac{3}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ a & b & c \end{vmatrix}$$ Sustituimos el valor del enunciado, que es $-2$: $$-\frac{3}{2} \cdot (-2) = 3.$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{3}$$

**b) (1 punto) Comprueba que la matriz $B$ es invertible y calcula su inversa, siendo $B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \end{pmatrix}$.** Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos $|B|$ mediante la regla de Sarrus: $$|B| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -1 \end{vmatrix} = [3 \cdot 1 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) \cdot 5 + 0 \cdot 0 \cdot 3] - [0 \cdot 1 \cdot 5 + 3 \cdot (-1) \cdot 3 + 2 \cdot 0 \cdot (-1)]$$ $$|B| = [-3 - 10 + 0] - [0 - 9 + 0] = -13 - (-9) = -13 + 9 = -4$$ Como $|B| = -4 \neq 0$, la matriz **$B$ es invertible**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si $\det(A) \neq 0$.

Para hallar $B^{-1}$ usaremos la fórmula $B^{-1} = \frac{1}{|B|} [\text{adj}(B)]^T$. Calculamos los adjuntos $B_{ij}$: - $B_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -1 - (-3) = 2$ - $B_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = -(0 - (-5)) = -5$ - $B_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = 0 - 5 = -5$ - $B_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -(-2 - 0) = 2$ - $B_{22} = +\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = -3 - 0 = -3$ - $B_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = -(9 - 10) = 1$ - $B_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$ - $B_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(-3 - 0) = 3$ - $B_{33} = +\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 0 = 3$ La matriz de adjuntos es: $$\text{adj}(B) = \begin{pmatrix} 2 & -5 & -5 \\ 2 & -3 & 1 \\ -2 & 3 & 3 \end{pmatrix}$$

Transponemos la matriz de adjuntos: $$[\text{adj}(B)]^T = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ -5 & -3 & 3 \\ -5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos la inversa dividiendo por el determinante $|B| = -4$: $$B^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ -5 & -3 & 3 \\ -5 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/4 & -2/4 & 2/4 \\ 5/4 & 3/4 & -3/4 \\ 5/4 & -1/4 & -3/4 \end{pmatrix}$$ Simplificando las fracciones: $$B^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 5/4 & 3/4 & -3/4 \\ 5/4 & -1/4 & -3/4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 5/4 & 3/4 & -3/4 \\ 5/4 & -1/4 & -3/4 \end{pmatrix}}$$