Ecuación matricial y rango con parámetros

**a) (1 punto) Resuelve la ecuación matricial $AX - 2I = A^2$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.** Primero, despejamos la matriz $X$ en la ecuación dada: $$AX - 2I = A^2 \implies AX = A^2 + 2I$$ Para aislar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $A$ ($A^{-1}$), siempre que esta exista: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(A^2 + 2I)$$ $$IX = A^{-1}A^2 + A^{-1}(2I)$$ $$X = A + 2A^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en el álgebra matricial el producto no es conmutativo. Si multiplicas por $A^{-1}$ por la izquierda en un miembro, debes hacerlo también por la izquierda en el otro.

Para que $A$ sea invertible, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos $|A|$ por la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (0 - 1 + 0) - (0 + 0 + 0) = -1.$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, existe $A^{-1}$. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(1) = -1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \implies (\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \frac{1}{|A|}(\text{Adj}(A))^t = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|}(\text{Adj}(A))^t$.

Sustituimos $A$ y $A^{-1}$ en la expresión $X = A + 2A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -2 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -2 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Analiza el rango de la matriz $A - mB$, según los valores de $m \in \mathbb{R}$, siendo $A$ la matriz del apartado anterior y $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$.** Construimos la matriz $C = A - mB$ operando elemento a elemento: $$C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} - m \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -m & 0 \\ m & 0 & m \\ 0 & -m & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & m-1 & 0 \\ -m & 0 & 1-m \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix}$$

El rango será 3 si el determinante de $C$ es distinto de cero. Calculamos $|C|$: $$|C| = \begin{vmatrix} 1 & m-1 & 0 \\ -m & 0 & 1-m \\ 1 & m & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$|C| = [1 \cdot 0 \cdot 1 + (m-1)(1-m) \cdot 1 + 0 \cdot (-m) \cdot m] - [0 \cdot 0 \cdot 1 + (m-1)(-m) \cdot 1 + (1-m) \cdot m \cdot 1]$$ $$|C| = (m-1)(1-m) - [(-m^2 + m) + (m - m^2)]$$ $$|C| = (-m^2 + 2m - 1) - (-2m^2 + 2m)$$ $$|C| = -m^2 + 2m - 1 + 2m^2 - 2m = m^2 - 1$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$m^2 - 1 = 0 \implies m^2 = 1 \implies m = \pm 1$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz $3 \times 3$ es 3 si su determinante es no nulo. Si es cero, el rango será 2 o menos.

Analizamos el rango de $C$ según los valores de $m$: **Caso 1: $m \neq 1$ y $m \neq -1$** En este caso, $|C| \neq 0$, por lo que las tres filas son linealmente independientes. $$\textbf{rango}(A-mB) = 3$$ **Caso 2: $m = 1$** La matriz es $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. El determinante es 0. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \textbf{rango}(A-mB) = 2$$ **Caso 3: $m = -1$** La matriz es $C = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$. El determinante es 0. Buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies \textbf{rango}(A-mB) = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \neq \pm 1, & \text{rango} = 3 \\ \text{Si } m = 1 \text{ o } m = -1, & \text{rango} = 2 \end{cases}}$$