Estudio de monotonía y curvatura de una función racional

**a) (1 punto) Obtén el dominio de definición y estudia su crecimiento y decrecimiento.** El dominio de una función racional está formado por todos los números reales, excepto aquellos que anulan el denominador. En este caso: $$x^2 = 0 \implies x = 0.$$ Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones racionales, los puntos donde el denominador se hace cero suelen ser candidatos a asíntotas verticales y deben excluirse siempre del estudio de monotonía y curvatura. $$\boxed{\text{Dom}(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)}$$

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento (monotonía), calculamos la primera derivada $f'(x)$. Aplicamos la regla de la cadena y del cociente: $$f(x) = \frac{(x-1)^2}{x^2}$$ $$f'(x) = \frac{2(x-1) \cdot 1 \cdot x^2 - (x-1)^2 \cdot 2x}{(x^2)^2}$$ Simplificamos factorizando $2x(x-1)$ en el numerador: $$f'(x) = \frac{2x(x-1) [x - (x-1)]}{x^4} = \frac{2x(x-1) \cdot 1}{x^4} = \frac{2(x-1)}{x^3}$$ 💡 **Tip:** Simplificar la derivada antes de igualar a cero facilita mucho los pasos posteriores. Aquí hemos cancelado una $x$ del numerador con una del denominador (ya que $x \neq 0$ en el dominio). $$\boxed{f'(x) = \frac{2x - 2}{x^3}}$$

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies 2(x-1) = 0 \implies x = 1.$$ Dividimos la recta real usando el punto crítico ($x=1$) y el punto donde no existe la función ($x=0$): $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline 2(x-1) & - & - & - & 0 & + \\ x^3 & - & 0 & + & + & + \\ \hline f'(x) & + & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \nexists & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$: $f'(x) \gt 0$, la función es **creciente**. - En $(0, 1)$: $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. - En $(1, +\infty)$: $f'(x) \gt 0$, la función es **creciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en: } (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) \quad \text{Decreciente en: } (0, 1)}$$

**b) (1 punto) Analiza la curvatura (concavidad = $\cap$ y convexidad = $\cup$) y existencia de puntos de inflexión en su dominio de definición.** Calculamos la segunda derivada a partir de $f'(x) = \frac{2x - 2}{x^3}$: $$f''(x) = \frac{2 \cdot x^3 - (2x - 2) \cdot 3x^2}{(x^3)^2}$$ $$f''(x) = \frac{2x^3 - (6x^3 - 6x^2)}{x^6} = \frac{-4x^3 + 6x^2}{x^6}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $x^2$: $$f''(x) = \frac{x^2(-4x + 6)}{x^6} = \frac{-4x + 6}{x^4}$$ 💡 **Tip:** Para estudiar la curvatura, los candidatos a puntos de inflexión son los valores de $x$ tales que $f''(x) = 0$ y pertenezcan al dominio. $$\boxed{f''(x) = \frac{-4x + 6}{x^4}}$$

Igualamos la segunda derivada a cero: $$f''(x) = 0 \implies -4x + 6 = 0 \implies x = \frac{6}{4} = 1.5$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por $x=0$ (fuera del dominio) y $x=1.5$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1.5) & 1.5 & (1.5, +\infty) \\ \hline -4x+6 & + & + & + & 0 & - \\ x^4 & + & 0 & + & + & + \\ \hline f''(x) & + & \nexists & + & 0 & - \\ \hline \text{Curvatura} & \cup & \nexists & \cup & \text{P.I.} & \cap \end{array}$$ - En $(-\infty, 0) \cup (0, 1.5)$: $f''(x) \gt 0$, la función es **convexa ($\cup$)**. - En $(1.5, +\infty)$: $f''(x) \lt 0$, la función es **cóncava ($\cap$)**. Al haber cambio de signo en $x=1.5$ y ser la función continua en ese punto, existe un **punto de inflexión**. Calculamos su ordenada: $$f(1.5) = \frac{(1.5 - 1)^2}{1.5^2} = \frac{0.5^2}{1.5^2} = \left(\frac{0.5}{1.5}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Convexa (\cup): } (-\infty, 0) \cup (0, 1.5) \quad \text{Cóncava (\cap): } (1.5, +\infty) \quad \text{P.I.}\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{9}\right)}$$