Cálculo de una integral indefinida por partes

Para resolver la integral $\int e^{-x}(x^2 - 1) dx$, observamos que el integrando es el producto de un polinomio, $(x^2 - 1)$, y una función exponencial, $e^{-x}$. Este tipo de estructuras suelen resolverse mediante el método de **integración por partes**. Recordamos la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Utilizando la regla nemotécnica **ALPES**, elegimos el polinomio como $u$ para que su grado disminuya al derivar: - $u = x^2 - 1 \implies du = 2x \, dx$ - $dv = e^{-x} \, dx \implies v = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x}$ Aplicamos la fórmula: $$I = (x^2 - 1)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})(2x) \, dx$$ $$I = -(x^2 - 1)e^{-x} + 2\int x e^{-x} \, dx$$ 💡 **Tip:** Al elegir el polinomio como $u$, el objetivo es derivarlo sucesivamente hasta que desaparezca o se convierta en una constante, simplificando la integral restante.

La nueva integral $\int x e^{-x} \, dx$ sigue siendo un producto de polinomio por exponencial, por lo que aplicamos de nuevo el método de partes: Definimos los nuevos términos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = e^{-x} \, dx \implies v = -e^{-x}$ Aplicamos la fórmula de nuevo: $$\int x e^{-x} \, dx = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) \, dx$$ $$\int x e^{-x} \, dx = -xe^{-x} + \int e^{-x} \, dx$$ $$\int x e^{-x} \, dx = -xe^{-x} - e^{-x}$$ 💡 **Tip:** Es fundamental mantener la misma jerarquía en la elección de $u$ y $dv$ en todas las aplicaciones del método para evitar volver a la integral original.

Sustituimos el resultado de la segunda integral en la expresión general que teníamos en el primer paso: $$I = -(x^2 - 1)e^{-x} + 2(-xe^{-x} - e^{-x}) + C$$ Ahora realizamos operaciones algebraicas para simplificar el resultado, sacando factor común $-e^{-x}$: $$I = -e^{-x} \left[ (x^2 - 1) + 2x + 2 \right] + C$$ $$I = -e^{-x} \left[ x^2 + 2x + 1 \right] + C$$ Observamos que el polinomio resultante es una identidad notable: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$. Por tanto, la expresión simplificada es: $$I = -e^{-x}(x+1)^2 + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int e^{-x}(x^2 - 1) dx = -e^{-x}(x^2 + 2x + 1) + C}$$