Límite con raíces e indeterminación infinito menos infinito

Para calcular el límite, evaluamos el comportamiento de la expresión cuando $x \to +\infty$: - El término $\sqrt{3x^2 - 2} \to \infty$. - El término $(\sqrt{3}x + 5) \to \infty$. Esto nos conduce a una indeterminación del tipo: $$\infty - \infty$$ 💡 **Tip:** Cuando nos encontramos con una resta de raíces (o una raíz y un polinomio) que genera $\infty - \infty$, la técnica estándar es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión.

Multiplicamos y dividimos por el conjugado de la expresión, que es $\sqrt{3x^2 - 2} + (\sqrt{3}x + 5)$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{[\sqrt{3x^2 - 2} - (\sqrt{3}x + 5)] \cdot [\sqrt{3x^2 - 2} + (\sqrt{3}x + 5)]}{\sqrt{3x^2 - 2} + (\sqrt{3}x + 5)}$$ En el numerador aplicamos la identidad notable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{3x^2 - 2})^2 - (\sqrt{3}x + 5)^2}{\sqrt{3x^2 - 2} + \sqrt{3}x + 5}$$

Desarrollamos los cuadrados en el numerador: - $(\sqrt{3x^2 - 2})^2 = 3x^2 - 2$ - $(\sqrt{3}x + 5)^2 = (\sqrt{3}x)^2 + 2 \cdot \sqrt{3}x \cdot 5 + 5^2 = 3x^2 + 10\sqrt{3}x + 25$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2 - (3x^2 + 10\sqrt{3}x + 25)}{\sqrt{3x^2 - 2} + \sqrt{3}x + 5}$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2 - 3x^2 - 10\sqrt{3}x - 25}{\sqrt{3x^2 - 2} + \sqrt{3}x + 5}$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{-10\sqrt{3}x - 27}{\sqrt{3x^2 - 2} + \sqrt{3}x + 5}$$ Ahora la indeterminación ha pasado a ser del tipo $\frac{\infty}{\infty}$.

Para resolver el límite al infinito de un cociente, comparamos los grados de los términos de mayor orden. Dividimos numerador y denominador por la máxima potencia de $x$, que es $x$ (recordando que dentro de la raíz cuadrada $x = \sqrt{x^2}$): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{-10\sqrt{3}x}{x} - \frac{27}{x}}{\sqrt{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{2}{x^2}} + \frac{\sqrt{3}x}{x} + \frac{5}{x}}$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{-10\sqrt{3} - \frac{27}{x}}{\sqrt{3 - \frac{2}{x^2}} + \sqrt{3} + \frac{5}{x}}$$ Cuando $x \to +\infty$, los términos $\frac{27}{x}$, $\frac{2}{x^2}$ y $\frac{5}{x}$ tienden a $0$: $$\frac{-10\sqrt{3} - 0}{\sqrt{3 - 0} + \sqrt{3} + 0} = \frac{-10\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{3}} = \frac{-10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$$ Simplificamos la expresión cancelando $\sqrt{3}$: $$\frac{-10}{2} = -5$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{-5}$$