Continuidad con parámetros y recta tangente

**a) (1 punto) Determina los valores de $a \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$.** Para que la función sea continua en todo su dominio, debemos analizar cada una de las ramas y el punto de salto entre ramas en $x = 0$: 1. **Rama $x \lt 0$**: La función $f(x) = \sqrt{-x} + e^3$ es continua para todo $x \lt 0$ ya que el radicando $-x$ es siempre positivo en este intervalo. 2. **Rama $x \gt 0$**: La función $f(x) = (1 - x)^{a/x}$ es continua en un entorno a la derecha de $0$ (específicamente mientras $1-x \gt 0$, es decir, $x \lt 1$). Para que sea continua en toda la rama positiva, el enunciado asume que el valor de $a$ permite su definición. 3. **Punto de salto $x = 0$**: Para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$, se debe cumplir que: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos el valor de la función en el punto: $$f(0) = \sqrt{-0} + e^3 = e^3$$ 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua en el punto de salto si los límites laterales coinciden con el valor de la función en dicho punto.

Calculamos el límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $$\lim_{x \to 0^-} (\sqrt{-x} + e^3) = \sqrt{0} + e^3 = e^3$$ Calculamos el límite por la derecha ($x \to 0^+$): $$\lim_{x \to 0^+} (1 - x)^{a/x}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $1^\infty$. Para resolverla, llamamos $L$ al límite y aplicamos logaritmos naturales: $$\ln L = \lim_{x \to 0^+} \ln((1 - x)^{a/x}) = \lim_{x \to 0^+} \frac{a}{x} \ln(1 - x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{a \ln(1 - x)}{x}$$ Esto nos da una indeterminación $\frac{0}{0}$, por lo que aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{d}{dx}[a \ln(1 - x)]}{\frac{d}{dx}[x]} = \lim_{x \to 0^+} \frac{a \cdot \frac{-1}{1 - x}}{1} = \frac{a \cdot (-1)}{1} = -a$$ Como $\ln L = -a$, entonces el límite es: $$L = e^{-a}$$ 💡 **Tip:** Cuando tengas un límite del tipo $1^\infty$, puedes usar la propiedad $\lim f^g = e^{\lim g(f-1)}$ o aplicar logaritmos y L'Hôpital.

Igualamos los límites laterales para asegurar la continuidad en $x = 0$: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \implies e^3 = e^{-a}$$ Igualando los exponentes: $$3 = -a \implies a = -3$$ Por tanto, la función es continua en $\mathbb{R}$ si el parámetro toma el valor indicado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -3}$$

**b) (1 punto) Calcula, para $a = 1$, la recta tangente a la función en $x = -4$.** Primero, identificamos en qué rama se encuentra $x = -4$. Como $-4 \le 0$, utilizamos la primera rama: $$f(x) = \sqrt{-x} + e^3$$ Calculamos la ordenada del punto de tangencia $y_0 = f(-4)$: $$f(-4) = \sqrt{-(-4)} + e^3 = \sqrt{4} + e^3 = 2 + e^3$$ El punto de tangencia es **$P(-4, 2 + e^3)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente en $x = x_0$ es $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.

Para hallar la pendiente $m = f'(-4)$, derivamos la función en la primera rama: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{-x} + e^3) = \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{-x}}$$ Evaluamos la derivada en $x = -4$: $$m = f'(-4) = -\frac{1}{2\sqrt{-(-4)}} = -\frac{1}{2\sqrt{4}} = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}$$ Ahora, sustituimos en la ecuación punto-pendiente: $$y - (2 + e^3) = -\frac{1}{4}(x - (-4))$$ $$y - 2 - e^3 = -\frac{1}{4}(x + 4)$$ $$y = -\frac{1}{4}x - 1 + 2 + e^3$$ $$y = -\frac{1}{4}x + 1 + e^3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -\frac{1}{4}x + 1 + e^3}$$