Posición relativa de dos rectas y ecuación del plano paralelo

**a) [1,5 puntos] Estudia la posición relativa de $r$ y $s$.** Primero, identificamos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$. La ecuación de $r$ es $x = 1 - y = z$. Podemos reescribirla en forma continua para ver claramente sus componentes: $$\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 0}{1}$$ De aquí extraemos: - **Vector director:** $\vec{v}_r = (1, -1, 1)$ - **Punto de la recta:** $P_r = (0, 1, 0)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

La recta $s$ viene dada como intersección de dos planos. Para hallar su **vector director $\vec{v}_s$**, calculamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -3 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_s = \mathbf{i}(1 \cdot 1) + \mathbf{j}(-3 \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1)) - [\mathbf{k}(1 \cdot 3) + \mathbf{i}(-3 \cdot (-1)) + \mathbf{j}(1 \cdot 1)]$$ $$\vec{v}_s = (1\mathbf{i} - 9\mathbf{j} - 1\mathbf{k}) - (3\mathbf{k} + 3\mathbf{i} + 1\mathbf{j}) = (-2, -10, -4)$$ Podemos simplificar el vector dividiendo por $-2$ para trabajar con números más sencillos: **$\vec{v}_s = (1, 5, 2)$**. Para hallar un **punto $P_s$**, fijamos $z = 0$ en el sistema de la recta: $$\begin{cases} x + y = 4 \\ 3x - y = -2 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $4x = 2 \Rightarrow x = 1/2$. Sustituyendo en la primera: $1/2 + y = 4 \Rightarrow y = 7/2$. - **Punto de la recta:** $P_s = (1/2, 7/2, 0)$

Para determinar la posición relativa, comparamos los vectores directores y analizamos el vector que une ambos puntos $\vec{P_rP_s} = (1/2 - 0, 7/2 - 1, 0 - 0) = (1/2, 5/2, 0)$. 1. **¿Son paralelas?** Comprobamos si $\vec{v}_r = (1, -1, 1)$ y $\vec{v}_s = (1, 5, 2)$ son proporcionales: $$\frac{1}{1} \neq \frac{-1}{5}$$ No son proporcionales, por lo que las rectas **se cortan o se cruzan**. 2. **Determinante mixto:** Calculamos $\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_rP_s})$: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \\ 1/2 & 5/2 & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - 5) - (-1)(0 - 1) + 1(5/2 - 5/2) = -5 - 1 + 0 = -6$$ Como el determinante es distinto de cero ($-6 \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio}}$$

**b) [1 punto] Calcula la ecuación del plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$.** El plano buscado $\pi$ tiene como vectores directores $\vec{v}_s$ (porque contiene a $s$) y $\vec{v}_r$ (porque es paralelo a $r$). Su vector normal $\vec{n}_\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = [(-2)\mathbf{i} + (1)\mathbf{j} + (5)\mathbf{k}] - [(-1)\mathbf{k} + (5)\mathbf{i} + (2)\mathbf{j}] = (-7, -1, 6)$$ La ecuación general del plano es $-7x - y + 6z + D = 0$. Imponemos que pase por el punto $P_s = (1/2, 7/2, 0)$: $$-7(1/2) - (7/2) + 6(0) + D = 0 \Rightarrow -\frac{7}{2} - \frac{7}{2} + D = 0 \Rightarrow -7 + D = 0 \Rightarrow D = 7$$ La ecuación es $-7x - y + 6z + 7 = 0$. Multiplicando por $-1$ para simplificar: ✅ **Resultado:** $$\boxed{7x + y - 6z - 7 = 0}$$