Planos paralelos y volumen de un tetraedro

**a) Halla las ecuaciones de los planos paralelos a $\pi$ que distan $2$ unidades de dicho plano.** Dos planos son paralelos si tienen el mismo vector normal (o uno proporcional). El vector normal del plano $\pi \equiv 2x + y - 2z - 2 = 0$ es $\vec{n} = (2, 1, -2)$. Cualquier plano $\pi'$ paralelo a $\pi$ tendrá una ecuación de la forma: $$\pi' \equiv 2x + y - 2z + D = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Si dos planos son paralelos, los coeficientes $A, B$ y $C$ son iguales (o proporcionales), variando únicamente el término independiente $D$.

Para hallar el valor de $D$, utilizamos la fórmula de la distancia entre dos planos paralelos $\pi_1 \equiv Ax + By + Cz + D_1 = 0$ y $\pi_2 \equiv Ax + By + Cz + D_2 = 0$: $$d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso, $D_1 = -2$ (del plano $\pi$), $D_2 = D$ (del plano buscado $\pi'$), y la distancia es $d = 2$. Sustituimos los valores: $$2 = \frac{|D - (-2)|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}}$$ $$2 = \frac{|D + 2|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \implies 2 = \frac{|D + 2|}{\sqrt{9}} \implies 2 = \frac{|D + 2|}{3}$$ Multiplicando por 3 obtenemos la ecuación con valor absoluto: $$|D + 2| = 6$$ Esto genera dos posibles soluciones: 1. $D + 2 = 6 \implies D = 4$ 2. $D + 2 = -6 \implies D = -8$ Sustituyendo estos valores en la ecuación de $\pi'$, obtenemos los dos planos paralelos buscados. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi_1 \equiv 2x + y - 2z + 4 = 0, \quad \pi_2 \equiv 2x + y - 2z - 8 = 0}$$

**b) Calcula el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos de corte del plano $\pi$ con los ejes coordenados.** Primero, determinamos los puntos de intersección del plano $\pi \equiv 2x + y - 2z - 2 = 0$ con los ejes coordenados: * **Corte con el eje OX** ($y=0, z=0$): $2x + 0 - 2(0) - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$. Punto **$A(1, 0, 0)$**. * **Corte con el eje OY** ($x=0, z=0$): $2(0) + y - 2(0) - 2 = 0 \implies y = 2$. Punto **$B(0, 2, 0)$**. * **Corte con el eje OZ** ($x=0, y=0$): $2(0) + 0 - 2z - 2 = 0 \implies -2z = 2 \implies z = -1$. Punto **$C(0, 0, -1)$**. El cuarto vértice es el origen de coordenadas, **$O(0, 0, 0)$**. 💡 **Tip:** Para hallar el corte con un eje, basta con igualar a cero las otras dos coordenadas en la ecuación del plano.

El volumen de un tetraedro con un vértice en el origen y los otros tres en los puntos $A, B$ y $C$ viene dado por la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los vectores $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ y $\vec{OC}$. Definimos los vectores: $$\vec{OA} = (1, 0, 0), \quad \vec{OB} = (0, 2, 0), \quad \vec{OC} = (0, 0, -1)$$ Calculamos el producto mixto mediante el determinante: $$[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 \cdot (-1) = -2$$ El volumen es: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]| = \frac{1}{6} |-2| = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \text{ u}^3$$ 💡 **Tip:** El volumen del tetraedro definido por los ejes y un plano que corta en $(a,0,0), (0,b,0), (0,0,c)$ se puede simplificar como $V = \frac{1}{6}|a \cdot b \cdot c|$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = \frac{1}{3} \text{ u}^3}$$