Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Discute el sistema según los valores de $m$. (1,75 puntos)** Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**. Primero, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 1 & -m & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & m \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -m & -2 & | & m \\ 1 & 1 & 1 & | & 2m \\ 1 & 2 & m & | & 3m \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -m & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & m \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot m) + (-m \cdot 1 \cdot 1) + (-2 \cdot 1 \cdot 2) - [(-2 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 2) + (-m \cdot 1 \cdot m)]$$ $$|A| = m - m - 4 - [-2 + 2 - m^2]$$ $$|A| = -4 + m^2$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ nos indica el rango máximo de la matriz de coeficientes. Si $|A| \neq 0$, el rango es 3.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores del parámetro $m$ que hacen que el rango de $A$ sea menor que 3: $$m^2 - 4 = 0 \implies m^2 = 4 \implies \mathbf{m = 2 \quad \text{y} \quad m = -2}$$ Estos son los valores que debemos estudiar por separado para aplicar el Teorema de Rouché-Capelli.

Si $m \neq 2$ y $m \neq -2$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que el rango de la ampliada no puede ser mayor que el número de filas ni menor que el de $A$) - Nº de incógnitas = 3 Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es un **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m \neq \pm 2 \implies \text{SCD (Solución única)}}$$

Sustituimos $m = 2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & | & 2 \\ 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ 1 & 2 & 2 & | & 6 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3 \neq 0 \implies \mathbf{\text{rango}(A) = 2}$$ Estudiamos el rango de $A^*$ tomando la 1ª y 2ª columna junto a la de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 6 \end{vmatrix} = (6 - 8 + 4) - (2 + 8 - 12) = 2 - (-2) = 4 \neq 0 \implies \mathbf{\text{rango}(A^*) = 3}$$ Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es un **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = 2 \implies \text{SI (No tiene solución)}}$$

Sustituimos $m = -2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & | & -2 \\ 1 & 1 & 1 & | & -4 \\ 1 & 2 & -2 & | & -6 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rango}(A) \lt 3$. Tomamos el menor: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0 \implies \mathbf{\text{rango}(A) = 2}$$ Estudiamos el rango de $A^*$ orlando con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -4 \\ 1 & 2 & -6 \end{vmatrix} = (-6 - 16 - 4) - (-2 - 8 - 12) = -26 - (-22) = -4 \neq 0 \implies \mathbf{\text{rango}(A^*) = 3}$$ Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es un **Sistema Incompatible (SI)**. 💡 **Tip:** También se observa que la primera y tercera fila tienen coeficientes proporcionales ($x+2y-2z$) pero distintos términos independientes ($-2$ y $-6$), lo que delata la incompatibilidad. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = -2 \implies \text{SI (No tiene solución)}}$$

**b) Para $m = 1$ resuelve el sistema, si es posible. (0,75 puntos)** Como $m = 1$ no es un valor crítico ($1 \neq \pm 2$), el sistema es **SCD**. Escribimos el sistema: $$\begin{cases} x - y - 2z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x + 2y + z = 3 \end{cases}$$ Resolvemos mediante el **método de Gauss**: $$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 1 & 2 & 1 & | & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow[F_3-F_1]{F_2-F_1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 1 \\ 0 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 3 & 3 & | & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{2F_3-3F_2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 1 \\ 0 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & -3 & | & 1 \end{pmatrix}$$ Despejamos las variables de abajo hacia arriba: 1. De $F_3$: $-3z = 1 \implies \mathbf{z = -1/3}$ 2. De $F_2$: $2y + 3z = 1 \implies 2y + 3(-1/3) = 1 \implies 2y - 1 = 1 \implies 2y = 2 \implies \mathbf{y = 1}$ 3. De $F_1$: $x - y - 2z = 1 \implies x - 1 - 2(-1/3) = 1 \implies x - 1 + 2/3 = 1 \implies x = 2 - 2/3 \implies \mathbf{x = 4/3}$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = \left(\frac{4}{3}, 1, -\frac{1}{3}\right)}$$