Discusión y resolución de un sistema homogéneo con parámetro

**a) Discute el sistema según los valores de $\alpha$. (1,25 puntos)** Se trata de un sistema de ecuaciones lineales **homogéneo**. Este tipo de sistemas siempre son compatibles, pues al menos admiten la solución trivial $(x, y, z) = (0, 0, 0)$. Llamamos $A$ a la matriz de coeficientes: $$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ \alpha & -1 & 1 \\ \alpha & 0 & \alpha \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ \alpha & -1 & 1 \\ \alpha & 0 & \alpha \end{vmatrix} = (-\alpha^2 + \alpha + 0) - (-\alpha + 0 + \alpha^2) = -\alpha^2 + \alpha + \alpha - \alpha^2 = -2\alpha^2 + 2\alpha$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $\alpha$: $$-2\alpha^2 + 2\alpha = 0 \implies 2\alpha(-\alpha + 1) = 0$$ De aquí obtenemos las raíces: $$\alpha = 0, \quad \alpha = 1$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas es Determinado si $|A| \neq 0$ e Indeterminado si $|A| = 0$.

Analizamos los casos según el valor de $\alpha$: **Caso 1: $\alpha \neq 0$ y $\alpha \neq 1$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de la matriz es $rg(A) = 3$, que coincide con el número de incógnitas. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. La única solución es la solución trivial: $(0, 0, 0)$. **Caso 2: $\alpha = 0$** La matriz $A$ queda: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ El determinante es $0$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Como $rg(A) = 2 < 3$ (nº de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 3: $\alpha = 1$** La matriz $A$ queda: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ El determinante es $0$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Como $rg(A) = 2 < 3$ (nº de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } \alpha \neq 0, 1: \text{SCD (Solución trivial)} \\ \text{Si } \alpha = 0 \text{ o } \alpha = 1: \text{SCI (Infinitas soluciones)} \end{cases}}$$

**b) Para $\alpha = 1$ resuelve el sistema y da una solución del mismo diferente de la solución trivial, si es posible. (1,25 puntos)** Sustituimos $\alpha = 1$ en el sistema: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - y + z = 0 \\ x + z = 0 \end{cases}$$ Como el rango es 2, una de las ecuaciones es redundante (podemos eliminar la primera o la segunda, ya que la tercera es la suma de ambas dividida por 2). Utilizamos las dos últimas ecuaciones para resolver el sistema en función de un parámetro: De la tercera ecuación: $$x + z = 0 \implies x = -z$$ Sustituimos $x = -z$ en la segunda ecuación: $$(-z) - y + z = 0 \implies -y = 0 \implies y = 0$$ Si llamamos $z = \lambda$ (siendo $\lambda \in \mathbb{R}$), la solución general es: $$\begin{cases} x = -\lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En sistemas SCI, siempre debemos expresar las variables en función de un número de parámetros igual a $n - rg(A)$.

Para dar una solución distinta de la trivial, asignamos cualquier valor a $\lambda$ que no sea $0$. Por ejemplo, si tomamos $\lambda = 1$: Para $\lambda = 1 \implies x = -1, \, y = 0, \, z = 1$. Comprobamos en el sistema original: 1) $-1 + 0 + 1 = 0$ (Correcto) 2) $-1 - 0 + 1 = 0$ (Correcto) 3) $-1 + 0(0) + 1(1) = 0$ (Correcto) ✅ **Resultado (Resolución y solución particular):** $$\boxed{\text{Solución general: } (-\lambda, 0, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$ $$\boxed{\text{Solución no trivial: } (-1, 0, 1)}$$