Área entre una parábola y una función valor absoluto con parámetro

Analizamos las funciones dadas: * $f(x) = x^2$: es una parábola cóncava hacia arriba con vértice en el origen $(0,0)$. * $g(x) = a|x|$ con $a \gt 0$: es una función valor absoluto con forma de "V", cuyo vértice también está en el origen. Ambas funciones son **pares**, ya que $f(x) = f(-x)$ y $g(x) = g(-x)$. Esto implica que sus gráficas son simétricas respecto al eje $Y$. Por tanto, el área total encerrada por las dos gráficas será el doble del área encerrada en el semiplano positivo del eje $X$ (cuando $x \ge 0$). 💡 **Tip:** Aprovechar la simetría simplifica notablemente los cálculos de áreas integrales, permitiendo trabajar con el intervalo $[0, a]$ en lugar de $[-a, a]$. $$\boxed{\text{Área Total} = 2 \cdot \text{Área}(x \ge 0)}$$

Para encontrar los límites de integración, buscamos los puntos donde se intersecan las gráficas. En el intervalo $x \ge 0$, la función $g(x)$ se comporta como $g(x) = ax$. Igualamos ambas funciones: $$x^2 = ax$$ $$x^2 - ax = 0$$ $$x(x - a) = 0$$ Las soluciones para este intervalo son $x = 0$ y $x = a$. Por simetría, los puntos de corte totales en todo el dominio son $x = -a$, $x = 0$ y $x = a$. $$\boxed{x = 0, \quad x = a}$$

En el intervalo $[0, a]$, la recta $g(x) = ax$ está por encima de la parábola $f(x) = x^2$ (puedes comprobarlo evaluando un punto intermedio como $x = a/2$). El área total $A$ se expresa como: $$A = 2 \cdot \int_{0}^{a} (g(x) - f(x)) \, dx$$ $$A = 2 \cdot \int_{0}^{a} (ax - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área entre dos curvas se calcula como la integral de la función "techo" menos la función "suelo" en el intervalo de corte.

Resolvemos la integral aplicando la regla de Barrow: $$A = 2 \cdot \left[ \frac{ax^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{a}$$ Evaluamos en los límites $a$ y $0$: $$A = 2 \cdot \left( \left( \frac{a \cdot a^2}{2} - \frac{a^3}{3} \right) - (0 - 0) \right)$$ $$A = 2 \cdot \left( \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} \right)$$ Para restar las fracciones, buscamos denominador común: $$A = 2 \cdot \left( \frac{3a^3 - 2a^3}{6} \right) = 2 \cdot \frac{a^3}{6} = \frac{a^3}{3}$$ $$\boxed{A = \frac{a^3}{3}}$$

El enunciado establece que el área total debe ser de 9 unidades cuadradas. Igualamos el resultado obtenido al valor dado: $$\frac{a^3}{3} = 9$$ $$a^3 = 27$$ $$a = \sqrt[3]{27}$$ $$a = 3$$ Como el problema indicaba que $a \gt 0$, la solución es válida. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 3}$$