Cálculo de una integral racional

Para resolver la integral $\int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} dx$, observamos que el grado del numerador (3) es mayor que el grado del denominador (2). Por tanto, lo primero que debemos hacer es realizar la división polinómica. Dividimos $P(x) = 2x^3 + 2x^2 - 2x + 7$ entre $Q(x) = x^2 + x - 2$: 1. Dividimos $2x^3$ entre $x^2$, lo que nos da $2x$. 2. Multiplicamos $2x(x^2 + x - 2) = 2x^3 + 2x^2 - 4x$. 3. Restamos este resultado del dividendo: $(2x^3 + 2x^2 - 2x + 7) - (2x^3 + 2x^2 - 4x) = 2x + 7$. Obtenemos como cociente $C(x) = 2x$ y como resto $R(x) = 2x + 7$. Usando la propiedad de la división $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$, la integral se transforma en: $$\int \left( 2x + \frac{2x + 7}{x^2 + x - 2} \right) dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que siempre que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador, el primer paso es realizar la división de polinomios.

Ahora debemos descomponer la fracción racional $\frac{2x + 7}{x^2 + x - 2}$ en fracciones más sencillas. Primero, hallamos las raíces del denominador resolviendo $x^2 + x - 2 = 0$: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Las raíces son: $$x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2$$ Como tenemos raíces reales simples, la descomposición tiene la forma: $$\frac{2x + 7}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$$ Multiplicando por el denominador común $(x-1)(x+2)$ obtenemos: $$2x + 7 = A(x + 2) + B(x - 1)$$ 💡 **Tip:** Para encontrar los valores de $A$ y $B$, lo más sencillo es dar a $x$ los valores de las raíces halladas.

Calculamos los coeficientes sustituyendo los valores de las raíces en la igualdad $2x + 7 = A(x + 2) + B(x - 1)$: - Para **$x = 1$**: $$2(1) + 7 = A(1 + 2) + B(1 - 1) \implies 9 = 3A \implies \mathbf{A = 3}$$ - Para **$x = -2$**: $$2(-2) + 7 = A(-2 + 2) + B(-2 - 1) \implies 3 = -3B \implies \mathbf{B = -1}$$ Por lo tanto, la fracción se descompone como: $$\frac{2x + 7}{x^2 + x - 2} = \frac{3}{x - 1} - \frac{1}{x + 2}$$ $$\boxed{\frac{2x + 7}{x^2 + x - 2} = \frac{3}{x - 1} - \frac{1}{x + 2}}$$

Sustituimos la descomposición en nuestra integral original: $$\int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} dx = \int 2x \, dx + \int \frac{3}{x - 1} \, dx - \int \frac{1}{x + 2} \, dx$$ Resolvemos cada integral por separado: 1. $\int 2x \, dx = x^2$ 2. $\int \frac{3}{x - 1} \, dx = 3 \ln|x - 1|$ 3. $\int \frac{1}{x + 2} \, dx = \ln|x + 2|$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$. No olvides incluir siempre el valor absoluto en el argumento del logaritmo y la constante de integración $C$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x^2 + 3 \ln|x - 1| - \ln|x + 2| + C}$$