Estudio de asíntotas y recta normal

**a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$. (1,5 puntos)** Primero, observamos que el dominio de la función es $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$, como indica el enunciado. Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que anulan el denominador. Calculamos el límite cuando $x$ tiende a $-2$: $$\lim_{x \to -2} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x + 2)^3}$$ Evaluamos el numerador en $x = -2$: $(-2)^4 - 3(-2)^2 + 2 = 16 - 12 + 2 = 6$. Evaluamos el denominador: $(-2 + 2)^3 = 0$. Como el límite es de la forma $\frac{6}{0}$, el resultado es infinito: $$\lim_{x \to -2} f(x) = \pm \infty$$ 💡 **Tip:** Si el límite de una función en un punto $a$ es infinito, la recta $x = a$ es una asíntota vertical. ✅ **Resultado (A. Vertical):** $$\boxed{x = -2}$$ (Nota: Si quisiéramos precisar, por la izquierda tiende a $-\infty$ y por la derecha a $+\infty$).

Buscamos el límite de la función cuando $x \to \pm \infty$: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x + 2)^3}$$ El grado del numerador (4) es mayor que el grado del denominador (3). Por tanto, el límite es infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty$$ Al no ser un valor finito, **no existen asíntotas horizontales**. 💡 **Tip:** Existe asíntota horizontal $y = L$ si el grado del numerador es menor o igual al del denominador. Si es mayor por exactamente un grado, debemos buscar una asíntota oblicua.

Puesto que el grado del numerador es una unidad superior al del denominador, buscamos una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{x(x + 2)^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{x(x^3 + 6x^2 + 12x + 8)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 8x} = 1$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^4 - 3x^2 + 2}{(x + 2)^3} - x \right)$$ Desarrollamos el denominador: $(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$. $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2 - x(x^3 + 6x^2 + 12x + 8)}{(x + 2)^3}$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 3x^2 + 2 - x^4 - 6x^3 - 12x^2 - 8x}{x^3 + 6x^2 + 12x + 8} = \lim_{x \to \infty} \frac{-6x^3 - 15x^2 - 8x + 2}{x^3 + 6x^2 + 12x + 8} = -6$$ ✅ **Resultado (A. Oblicua):** $$\boxed{y = x - 6}$$

**b) Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$. (1 punto)** Primero, calculamos la ordenada del punto evaluando la función en $x = 0$: $$y_0 = f(0) = \frac{0^4 - 3(0)^2 + 2}{(0 + 2)^3} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$ El punto de contacto es $P\left(0, \frac{1}{4}\right)$.

Necesitamos la derivada $f'(x)$ para hallar la pendiente de la tangente en $x = 0$. Aplicamos la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(4x^3 - 6x)(x + 2)^3 - (x^4 - 3x^2 + 2) \cdot 3(x + 2)^2}{(x + 2)^6}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(x + 2)^2$: $$f'(x) = \frac{(4x^3 - 6x)(x + 2) - 3(x^4 - 3x^2 + 2)}{(x + 2)^4}$$ Ahora evaluamos en $x = 0$ para hallar la pendiente de la tangente $m_T$: $$m_T = f'(0) = \frac{(0 - 0)(2) - 3(0 - 0 + 2)}{(0 + 2)^4} = \frac{-6}{16} = -\frac{3}{8}$$ La pendiente de la recta normal ($m_N$) es la opuesta e inversa de la de la tangente: $$m_N = -\frac{1}{f'(0)} = -\frac{1}{-3/8} = \frac{8}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si la pendiente de la tangente es $m$, la de la normal es $-1/m$.

Utilizamos la ecuación punto-pendiente con $P\left(0, \frac{1}{4}\right)$ y $m_N = \frac{8}{3}$: $$y - y_0 = m_N(x - x_0) \implies y - \frac{1}{4} = \frac{8}{3}(x - 0)$$ Despejamos $y$ para obtener la ecuación explícita: $$y = \frac{8}{3}x + \frac{1}{4}$$ Multiplicando por 12 para obtener la forma general (opcional): $12y = 32x + 3 \implies 32x - 12y + 3 = 0$. ✅ **Resultado (Recta normal):** $$\boxed{y = \frac{8}{3}x + \frac{1}{4}}$$