Continuidad con parámetros y recta tangente

**a) Calcula $\lambda$ y $\mu$. (1,25 puntos)** Para que la función sea continua en $x = 0$, se debe cumplir que el límite de la función cuando $x$ tiende a $0$ coincida con el valor de la función en ese punto: $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$ En nuestro caso, esto implica: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\lambda x} - e^x - x}{x^2} = \mu$$ Comenzamos evaluando el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\lambda \cdot 0} - e^0 - 0}{0^2} = \frac{1 - 1 - 0}{0} = \frac{0}{0}$$ Al obtener una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital establece que $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si se cumple la indeterminación $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Derivamos el numerador y el denominador: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\lambda x} - e^x - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\lambda e^{\lambda x} - e^x - 1}{2x}$$ Evaluamos de nuevo el límite en $x = 0$: - Denominador: $2(0) = 0$. - Numerador: $\lambda e^0 - e^0 - 1 = \lambda - 1 - 1 = \lambda - 2$. Para que el límite sea un valor finito (y por tanto la función sea continua), el numerador también debe ser $0$ para poder aplicar L'Hôpital de nuevo o resolver la indeterminación. Si el numerador fuera distinto de cero, el límite sería infinito. Por tanto: $$\lambda - 2 = 0 \implies \boxed{\lambda = 2}$$ 💡 **Tip:** En límites con parámetros en el numerador, si el denominador tiende a cero y buscamos un límite finito, el numerador obligatoriamente debe tender a cero.

Sustituimos $\lambda = 2$ en el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} - e^x - 1}{2x}$$ Como vuelve a ser una indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} - e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} - e^x}{2}$$ Ahora evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{4e^{2 \cdot 0} - e^0}{2} = \frac{4(1) - 1}{2} = \frac{3}{2}$$ Como $\mu$ es el valor del límite para que la función sea continua: $$\boxed{\mu = \frac{3}{2}}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\lambda = 2, \quad \mu = \frac{3}{2}}$$

**b) Para $\lambda = 2$, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$. (1,25 puntos)** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ es: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En este caso $a = 1$. Primero calculamos la ordenada del punto $f(1)$ con $\lambda = 2$: $$f(1) = \frac{e^{2(1)} - e^1 - 1}{1^2} = e^2 - e - 1$$ El punto de tangencia es **$P(1, e^2 - e - 1)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para $x \neq 0$ usamos la rama superior de la función definida en el enunciado.

Para hallar la pendiente $m = f'(1)$, derivamos $f(x) = \frac{e^{2x} - e^x - x}{x^2}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2e^{2x} - e^x - 1) \cdot x^2 - (e^{2x} - e^x - x) \cdot 2x}{(x^2)^2}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $x$ (ya que $x \neq 0$): $$f'(x) = \frac{(2e^{2x} - e^x - 1)x - 2(e^{2x} - e^x - x)}{x^3}$$ Calculamos $f'(1)$: $$f'(1) = \frac{(2e^2 - e^1 - 1) \cdot 1 - 2(e^2 - e^1 - 1)}{1^3}$$ $$f'(1) = 2e^2 - e - 1 - 2e^2 + 2e + 2$$ $$f'(1) = e + 1$$ La pendiente de la recta tangente es **$m = e + 1$**. 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Aquí $u = e^{2x} - e^x - x$ y $v = x^2$.

Sustituimos el punto y la pendiente en la ecuación punto-pendiente: $$y - (e^2 - e - 1) = (e + 1)(x - 1)$$ Despejamos $y$ para obtener la forma explícita: $$y = (e + 1)x - (e + 1) + e^2 - e - 1$$ $$y = (e + 1)x - e - 1 + e^2 - e - 1$$ $$y = (e + 1)x + e^2 - 2e - 2$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = (e + 1)x + e^2 - 2e - 2}$$