Punto simétrico y distancia a un plano

**a) Halla el punto simétrico del punto $P$ respecto del plano $\pi$. (1,75 puntos)** Para trabajar con mayor comodidad, primero transformamos la ecuación paramétrica del plano $\pi$ en su ecuación general (implícita). Para ello, extraemos un punto $A$ y dos vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ de las ecuaciones paramétricas: - Punto $A(0, -1, 3)$ - Vector $\vec{u}(9, 2, 4)$ - Vector $\vec{v}(3, 0, 1)$ El vector normal al plano, $\vec{n_\pi}$, se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores directores: $$\vec{n_\pi} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 9 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo el determinante por Sarrus: $$\vec{n_\pi} = (2-0)\vec{i} - (9-12)\vec{j} + (0-6)\vec{k} = 2\vec{i} + 3\vec{j} - 6\vec{k}$$ $$\vec{n_\pi} = (2, 3, -6)$$ La ecuación del plano será de la forma $2x + 3y - 6z + D = 0$. Sustituimos el punto $A(0, -1, 3)$ para hallar $D$: $$2(0) + 3(-1) - 6(3) + D = 0 \implies -3 - 18 + D = 0 \implies D = 21$$ La ecuación general del plano es: $$\boxed{\pi \equiv 2x + 3y - 6z + 21 = 0}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector normal $(A, B, C)$ de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano.

Para hallar el punto simétrico, trazamos una recta $r$ que pase por $P(2, 0, -4)$ y sea perpendicular al plano $\pi$. La dirección de esta recta será el vector normal del plano, $\vec{v_r} = \vec{n_\pi} = (2, 3, -6)$. Expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 + 2\lambda \\ y = 3\lambda \\ z = -4 - 6\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico $P'$ se encuentra sobre esta recta, al otro lado del plano y a la misma distancia que $P$ del plano.

Hallamos el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este punto es la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano. Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano: $$2(2 + 2\lambda) + 3(3\lambda) - 6(-4 - 6\lambda) + 21 = 0$$ $$4 + 4\lambda + 9\lambda + 24 + 36\lambda + 21 = 0$$ $$49\lambda + 49 = 0 \implies 49\lambda = -49 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones de $r$ para obtener las coordenadas de $M$: $$x_M = 2 + 2(-1) = 0$$ $$y_M = 3(-1) = -3$$ $$z_M = -4 - 6(-1) = 2$$ El punto de proyección es **$M(0, -3, 2)$**.

El punto $M$ es el punto medio del segmento $PP'$, donde $P'$ es el punto simétrico buscado $P'(x', y', z')$. Aplicamos la fórmula del punto medio: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2(0) - 2 = -2$$ $$y' = 2(-3) - 0 = -6$$ $$z' = 2(2) - (-4) = 4 + 4 = 8$$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P'(-2, -6, 8)}$$

**b) Calcula la distancia del punto $P$ al plano $\pi$. (0,75 puntos)** La distancia del punto $P$ al plano $\pi$ coincide con el módulo del vector $\vec{PM}$, ya que $M$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano. Calculamos el vector $\vec{PM}$: $$\vec{PM} = M - P = (0 - 2, -3 - 0, 2 - (-4)) = (-2, -3, 6)$$ Calculamos su módulo: $$d(P, \pi) = |\vec{PM}| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + 6^2}$$ $$d(P, \pi) = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$$ 💡 **Tip:** También podrías usar la fórmula directa $d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$, que daría $\frac{|2(2) + 3(0) - 6(-4) + 21|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2}} = \frac{49}{7} = 7$. ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(P, \pi) = 7 \text{ unidades}}$$