Área de un triángulo y ángulo entre vectores en el espacio

**Apartado a) Hallar los valores de $m$, sabiendo que el área del triángulo es $\frac{\sqrt{18}}{2}$ unidades cuadradas.** Para calcular el área de un triángulo con vértices $A$, $B$ y $C$, primero definimos dos vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo el vértice $A$: - $\vec{AB} = B - A = (m - 0, 0 - 2, 1 - 3) = (m, -2, -2)$ - $\vec{AC} = C - A = (2 - 0, 1 - 2, 2 - 3) = (2, -1, -1)$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo es la mitad del área del paralelogramo formado por los vectores de sus lados, es decir: $\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$. $$\vec{AB} = (m, -2, -2), \quad \vec{AC} = (2, -1, -1)$$

Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante de la matriz formada por los vectores unitarios $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ y las componentes de los vectores: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ m & -2 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila (Sarrus o adjuntos): - Componente $\mathbf{i}$: $(-2)(-1) - (-2)(-1) = 2 - 2 = 0$ - Componente $\mathbf{j}$: $-(m(-1) - 2(-2)) = -(-m + 4) = m - 4$ - Componente $\mathbf{k}$: $m(-1) - 2(-2) = -m + 4$ El vector resultante es: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (0, m - 4, -m + 4)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial es un vector perpendicular al plano que contiene a $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.

El módulo del producto vectorial es: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0^2 + (m - 4)^2 + (-m + 4)^2} = \sqrt{2(m - 4)^2} = |m - 4|\sqrt{2}$$ Igualamos la expresión del área calculada al valor dado en el enunciado: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |m - 4|\sqrt{2} = \frac{\sqrt{18}}{2}$$ Multiplicamos por $2$ en ambos lados y simplificamos $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$: $$|m - 4|\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$ $$|m - 4| = 3$$ Esto genera dos posibles soluciones: 1. $m - 4 = 3 \implies m = 7$ 2. $m - 4 = -3 \implies m = 1$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 1, \quad m = 7}$$

**Apartado b) Para $m = 0$, calcula el coseno del ángulo en el vértice $A$.** Si $m = 0$, los vectores son: - $\vec{AB} = (0, -2, -2)$ - $\vec{AC} = (2, -1, -1)$ El coseno del ángulo $\alpha$ en el vértice $A$ viene dado por la fórmula del producto escalar: $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (0)(2) + (-2)(-1) + (-2)(-1) = 0 + 2 + 2 = 4$$ 💡 **Tip:** El producto escalar de dos vectores $(u_1, u_2, u_3) \cdot (v_1, v_2, v_3)$ es la suma de los productos de sus componentes: $u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$.

Calculamos los módulos de los vectores: - $|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ - $|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$ Sustituimos en la fórmula del coseno: $$\cos(\alpha) = \frac{4}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{48}}$$ Simplificamos la raíz: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$: $$\cos(\alpha) = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando el resultado: $$\cos(\alpha) = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,577}$$