Rango de una matriz con parámetros y ecuación matricial

**a) Calcula el rango de la matriz $A$ según los valores de $m$. (1 punto)** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Empezamos calculando el determinante de $A$ para ver cuándo es máximo (rango 3). Aplicamos la regla de Sarrus para el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{vmatrix} = (m \cdot m \cdot 3) + (1 \cdot m \cdot 3) + (1 \cdot 2 \cdot 1) - [(3 \cdot m \cdot 1) + (2 \cdot m \cdot m) + (3 \cdot 1 \cdot 1)]$$ $$|A| = (3m^2 + 3m + 2) - (3m + 2m^2 + 3) = 3m^2 + 3m + 2 - 3m - 2m^2 - 3 = m^2 - 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de una matriz cuadrada de orden $n$ es distinto de cero, su rango es $n$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$m^2 - 1 = 0 \implies m^2 = 1 \implies m = \pm 1$$ Analizamos los casos: 1. **Si $m \neq 1$ y $m \neq -1$**: El determinante $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz es máximo. $$\mathbf{rg(A) = 3}$$ 2. **Si $m = 1$**: La matriz queda $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$. Observamos que la fila 1 y la fila 3 son iguales ($F_1 = F_3$), por lo que $|A| = 0$ y $rg(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 3 = -1 \neq 0 \implies \mathbf{rg(A) = 2}$$ 3. **Si $m = -1$**: La matriz queda $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$. Las columnas 1 y 2 son proporcionales ($C_1 = -C_2$), por lo que $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 3 = -5 \neq 0 \implies \mathbf{rg(A) = 2}$$ ✅ **Resultado (Rango de A):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \neq \pm 1, rg(A) = 3 \\ \text{Si } m = 1, rg(A) = 2 \\ \text{Si } m = -1, rg(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) Para $m = 0$ resuelve la ecuación $AX = B$, si es posible. (1,5 puntos)** Si $m = 0$, hemos visto en el apartado anterior que $|A| = 0^2 - 1 = -1$. Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible, lo que significa que la ecuación tiene solución única. Para despejar $X$ en la ecuación $AX = B$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$: $$A^{-1}AX = A^{-1}B \implies IX = A^{-1}B \implies X = A^{-1}B$$ La matriz para $m=0$ es $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$. 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación es crucial. Si $A$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe multiplicar a $B$ por la izquierda.

Calculamos $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot Adj(A)^t$. Calculamos los adjuntos de los elementos de $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 0$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(3-2) = -1$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -3$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -3$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -(-3) = 3$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ La matriz adjunta es $Adj(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -3 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$. La traspuesta es $Adj(A)^t = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Entonces: $A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Calculamos $X = A^{-1}B$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: - Fila 1: $(0 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1)) = 3 + 2 = 5$ y $(0 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + (-2) \cdot 2) = -4$ - Fila 2: $(1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + (-3) \cdot (-1)) = 2 + 3 + 3 = 8$ y $(1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + (-3) \cdot 2) = 2 - 6 = -4$ - Fila 3: $(0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1)) = -1 - 1 = -2$ y $(0 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 2) = 2$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 8 & -4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}}$$