Álgebra 2022 Andalucia
Problema de sistemas de ecuaciones: Seguidores en redes sociales
Para resolver este problema, primero definiremos las variables para el número de seguidores de cada persona:
* $A$: Seguidores de Alberto.
* $B$: Seguidores de Begoña.
* $C$: Seguidores de Carlos.
Ahora, traduciremos los enunciados del problema en un sistema de ecuaciones:
1. **"La suma de los seguidores de Alberto, Begoña y Carlos es de $13.000$ personas":**
$$A + B + C = 13.000$$
2. **"Aunque Carlos perdiera una tercera parte de sus seguidores, todavía seguiría teniendo el doble de seguidores que tiene Alberto":**
Si Carlos pierde una tercera parte ($\frac{1}{3}C$), le quedan las dos terceras partes ($\frac{2}{3}C$).
$$\frac{2}{3}C = 2A$$
Simplificando (dividiendo entre 2 ambos lados): $\frac{1}{3}C = A$, lo que equivale a:
$$C = 3A$$
3. **"Los seguidores de Alberto más la quinta parte de los seguidores de Begoña, son tantos como la mitad de los de Carlos":**
$$A + \frac{1}{5}B = \frac{1}{2}C$$
Paso 1
Planteamiento del sistema de ecuaciones
A partir del enunciado, hemos definido las variables $A$, $B$ y $C$ y obtenido el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
(1) $A + B + C = 13.000$
(2) $C = 3A$
(3) $A + \frac{1}{5}B = \frac{1}{2}C$
💡 **Tip:** En problemas de planteamiento, es vital comprobar que el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas para asegurar que el sistema pueda tener una solución única.
Paso 2
Relacionar B con A mediante sustitución
Sustituimos la ecuación (2), $C = 3A$, en la ecuación (3) para expresar la variable $B$ únicamente en función de $A$:
$$A + \frac{1}{5}B = \frac{1}{2}(3A)$$
$$A + \frac{1}{5}B = \frac{3}{2}A$$
Despejamos el término con $B$ restando $A$ en ambos lados:
$$\frac{1}{5}B = \frac{3}{2}A - A \implies \frac{1}{5}B = \frac{1}{2}A$$
Finalmente, multiplicamos por 5:
$$\boxed{B = \frac{5}{2}A}$$
💡 **Tip:** Reducir un sistema de 3 variables a una sola variable (en este caso $A$) facilita enormemente la resolución por el método de sustitución.
Paso 3
Calcular los seguidores de Alberto (A)
Sustituimos las expresiones de $C$ y $B$ halladas en función de $A$ en la primera ecuación:
$$A + \frac{5}{2}A + 3A = 13.000$$
Para trabajar sin fracciones, multiplicamos toda la ecuación por $2$:
$$2A + 5A + 6A = 26.000$$
$$13A = 26.000$$
Despejamos $A$:
$$A = \frac{26.000}{13}$$
✅ **Resultado para Alberto:**
$$\boxed{A = 2.000}$$
💡 **Tip:** Al multiplicar una ecuación por un número para quitar denominadores, asegúrate de multiplicar **todos** los términos, incluido el término independiente a la derecha del igual.
Paso 4
Calcular los seguidores de Begoña y Carlos
Utilizamos el valor de $A = 2.000$ para hallar las otras dos incógnitas:
* **Para Carlos ($C$):**
$$C = 3A \rightarrow C = 3 \cdot 2.000 = 6.000$$
* **Para Begoña ($B$):**
$$B = \frac{5}{2}A \rightarrow B = \frac{5}{2} \cdot 2.000 = 5.000$$
✅ **Resultados:**
$$\boxed{B = 5.000, \quad C = 6.000}$$
💡 **Tip:** Siempre es recomendable realizar una comprobación rápida: $2.000 + 5.000 + 6.000 = 13.000$, lo cual verifica la primera condición del enunciado.
Paso 5
Solución final
Presentamos los resultados finales de forma clara:
* **Alberto** tiene **$2.000$** seguidores.
* **Begoña** tiene **$5.000$** seguidores.
* **Carlos** tiene **$6.000$** seguidores.
$$\boxed{\text{Alberto: } 2.000, \text{ Begoña: } 5.000, \text{ Carlos: } 6.000}$$