Integral definida por cambio de variable

Para resolver la integral definida sugerida, comenzamos aplicando el cambio de variable propuesto: $t = \sqrt{1+x}$. Primero, despejamos $x$ para poder sustituirla en el numerador: $$t = \sqrt{1+x} \implies t^2 = 1+x \implies x = t^2 - 1$$ Ahora, calculamos el diferencial $dx$ derivando respecto a $t$: $$dx = \dfrac{d}{dt}(t^2 - 1) \, dt = 2t \, dt$$ 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable en una integral, no olvides calcular siempre el nuevo diferencial $dx$ y comprobar si es más sencillo despejar la variable original antes de derivar.

Al realizar un cambio de variable en una integral definida, es muy recomendable cambiar los límites de integración para trabajar directamente en la nueva variable $t$ y no tener que deshacer el cambio al final. Calculamos los nuevos límites sustituyendo en $t = \sqrt{1+x}$: - Si $x = 0$ (límite inferior): $t = \sqrt{1+0} = \sqrt{1} = 1$. - Si $x = 3$ (límite superior): $t = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. Por tanto, los nuevos límites de integración para $t$ serán de **1 a 2**.

Sustituimos todos los elementos en la integral original: $$\int_{0}^{3} \dfrac{x}{\sqrt{1+x}} \, dx = \int_{1}^{2} \dfrac{t^2 - 1}{t} \cdot (2t \, dt)$$ Simplificamos la expresión cancelando la $t$ del denominador con la del diferencial: $$\int_{1}^{2} \dfrac{(t^2 - 1) \cdot 2t}{t} \, dt = \int_{1}^{2} 2(t^2 - 1) \, dt$$ Sacamos la constante fuera de la integral: $$2 \int_{1}^{2} (t^2 - 1) \, dt$$ 💡 **Tip:** Simplificar la expresión resultante del cambio de variable antes de integrar ahorra errores operativos. En este caso, la integral se convierte en una polinómica inmediata.

Calculamos la primitiva de la función: $$2 \int (t^2 - 1) \, dt = 2 \left[ \dfrac{t^3}{3} - t \right]$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites calculados (1 y 2): $$2 \left[ \dfrac{t^3}{3} - t \right]_{1}^{2} = 2 \left[ \left( \dfrac{2^3}{3} - 2 \right) - \left( \dfrac{1^3}{3} - 1 \right) \right]$$ Operamos paso a paso: $$2 \left[ \left( \dfrac{8}{3} - 2 \right) - \left( \dfrac{1}{3} - 1 \right) \right] = 2 \left[ \left( \dfrac{8-6}{3} \right) - \left( \dfrac{1-3}{3} \right) \right]$$ $$2 \left[ \dfrac{2}{3} - \left( -\dfrac{2}{3} \right) \right] = 2 \left[ \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} \right] = 2 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_{0}^{3} \dfrac{x}{\sqrt{1+x}} \, dx = \dfrac{8}{3}}$$