Área entre una curva y su recta normal

Para obtener la recta normal, primero necesitamos el punto de tangencia y la pendiente de la recta tangente en dicho punto. 1. **Punto de tangencia:** Calculamos el valor de la función en $x = 0$: $$f(0) = 0^3 - 0 = 0 \implies P(0, 0)$$ 2. **Pendiente de la recta tangente ($m_t$):** Calculamos la derivada de $f(x)$: $$f'(x) = 3x^2 - 1$$ La pendiente en $x = 0$ es: $$m_t = f'(0) = 3(0)^2 - 1 = -1$$ 3. **Pendiente de la recta normal ($m_n$):** La pendiente de la normal es la opuesta e inversa de la de la tangente: $$m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$$ 4. **Ecuación de la recta normal:** Usamos la fórmula punto-pendiente $y - y_0 = m_n(x - x_0)$: $$y - 0 = 1(x - 0) \implies y = x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si la recta tangente tiene pendiente $m$, la recta normal tiene pendiente $-1/m$, siempre que $m \neq 0$. $$\boxed{y = x}$$

Para determinar los límites de integración, igualamos la función $f(x) = x^3 - x$ con la recta normal $y = x$: $$x^3 - x = x$$ $$x^3 - 2x = 0$$ Factorizamos la ecuación: $$x(x^2 - 2) = 0$$ Obtenemos las raíces: - $x = 0$ - $x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$ Los puntos de corte son $x = -\sqrt{2}$, $x = 0$ y $x = \sqrt{2}$. Estos puntos dividen la región en dos recintos. $$\boxed{x_1 = -\sqrt{2}, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = \sqrt{2}}$$

El área total es la suma de las áreas de los dos recintos en los intervalos $[-\sqrt{2}, 0]$ y $[0, \sqrt{2}]$. Dado que $f(x) = x^3 - x$ es una función impar ($f(-x) = -f(x)$) y la recta $y = x$ también es impar, el área de ambos recintos será idéntica por simetría respecto al origen. Calculamos el área total como el doble de la integral en el intervalo positivo $[0, \sqrt{2}]$. En este intervalo, comprobamos qué función está por encima. Para $x = 1$: - Recta: $y = 1$ - Función: $f(1) = 1^3 - 1 = 0$ Como la recta está por encima, la función a integrar es $(x - (x^3 - x)) = 2x - x^3$. $$\text{Área} = 2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{2}} (2x - x^3) \, dx$$ 💡 **Tip:** Aprovechar la simetría de las funciones (par o impar) simplifica notablemente los cálculos de integrales definidas de áreas.

Aplicamos la regla de Barrow para resolver la integral: $$\text{Área} = 2 \cdot \left[ \frac{2x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{\sqrt{2}} = 2 \cdot \left[ x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{\sqrt{2}}$$ Evaluamos en los límites: $$\text{Área} = 2 \cdot \left( \left( (\sqrt{2})^2 - \frac{(\sqrt{2})^4}{4} \right) - (0) \right)$$ $$\text{Área} = 2 \cdot \left( 2 - \frac{4}{4} \right)$$ $$\text{Área} = 2 \cdot (2 - 1) = 2 \cdot 1 = 2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 2 \text{ unidades cuadradas}}$$