Extremos absolutos, recta tangente y normal

**a) Halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Para encontrar los extremos absolutos en un intervalo cerrado $[0, 2\pi]$, primero debemos hallar la derivada de la función para localizar los puntos críticos. Utilizamos la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$f'(x) = (e^x)'(\cos x + \sin x) + e^x(\cos x + \sin x)'$$ $$f'(x) = e^x(\cos x + \sin x) + e^x(-\sin x + \cos x)$$ Factorizamos $e^x$ para simplificar la expresión: $$f'(x) = e^x(\cos x + \sin x - \sin x + \cos x)$$ $$f'(x) = e^x(2\cos x)$$ $$\boxed{f'(x) = 2e^x \cos x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^x$ es $e^x$, la de $\sin x$ es $\cos x$ y la de $\cos x$ es $-\sin x$.

Los puntos críticos ocurren donde la derivada es igual a cero: $$2e^x \cos x = 0$$ Como la función exponencial $e^x$ nunca se anula ($e^x \gt 0$ para todo $x$), la igualdad solo se cumple si: $$\cos x = 0$$ Dentro del intervalo abierto $(0, 2\pi)$, buscamos los valores de $x$ cuyo coseno es nulo: 1. $x_1 = \dfrac{\pi}{2}$ 2. $x_2 = \dfrac{3\pi}{2}$ Estos son nuestros candidatos a extremos relativos dentro del intervalo.

Para determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado, comparamos los valores de la función en los extremos del intervalo y en los puntos críticos hallados: 1. **Extremo inferior ($x=0$):** $f(0) = e^0(\cos 0 + \sin 0) = 1(1 + 0) = \mathbf{1}$ 2. **Punto crítico 1 ($x=\pi/2$):** $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\pi/2}(\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2}) = e^{\pi/2}(0 + 1) = \mathbf{e^{\pi/2}} \approx 4.81$ 3. **Punto crítico 2 ($x=3\pi/2$):** $f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = e^{3\pi/2}(\cos\frac{3\pi}{2} + \sin\frac{3\pi}{2}) = e^{3\pi/2}(0 - 1) = \mathbf{-e^{3\pi/2}} \approx -111.32$ 4. **Extremo superior ($x=2\pi$):** $f(2\pi) = e^{2\pi}(\cos 2\pi + \sin 2\pi) = e^{2\pi}(1 + 0) = \mathbf{e^{2\pi}} \approx 535.49$ 💡 **Tip:** No olvides evaluar siempre los límites del intervalo ($0$ y $2\pi$), ya que los extremos absolutos a menudo se encuentran en los bordes.

Comparando los valores obtenidos: $$-e^{3\pi/2} < 1 < e^{\pi/2} < e^{2\pi}$$ El valor más pequeño es el mínimo absoluto y el más grande es el máximo absoluto: ✅ **Mínimo absoluto:** Se alcanza en **$x = \dfrac{3\pi}{2}$** con un valor de **$-e^{3\pi/2}$**. ✅ **Máximo absoluto:** Se alcanza en **$x = 2\pi$** con un valor de **$e^{2\pi}$**. $$\boxed{\text{Mín: } (\frac{3\pi}{2}, -e^{3\pi/2}), \quad \text{Máx: } (2\pi, e^{2\pi})}$$

**b) Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = \frac{3\pi}{2}$.** Necesitamos el punto de paso $(x_0, f(x_0))$ y la pendiente $m = f'(x_0)$ para $x_0 = \frac{3\pi}{2}$. 1. **Punto de paso:** Ya sabemos por el apartado anterior que $f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -e^{3\pi/2}$. 2. **Pendiente de la tangente ($m_t$):** Calculamos el valor de la derivada en dicho punto: $m_t = f'\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2e^{3\pi/2} \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2e^{3\pi/2} \cdot 0 = 0$. 3. **Ecuación de la recta tangente:** Usamos la fórmula $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$: $$y - (-e^{3\pi/2}) = 0 \cdot (x - \frac{3\pi}{2})$$ $$y + e^{3\pi/2} = 0 \implies y = -e^{3\pi/2}$$ 💡 **Tip:** Si la pendiente es cero, la recta tangente es horizontal. ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = -e^{3\pi/2}}$$

La recta normal es perpendicular a la recta tangente en el punto de contacto. Como la recta tangente es una recta horizontal ($y = \text{constante}$), su perpendicular debe ser una recta vertical que pase por el mismo punto. La ecuación de una recta vertical tiene la forma $x = a$. Dado que debe pasar por el punto donde la abscisa es $x = \frac{3\pi}{2}$, su ecuación es directa. 💡 **Tip:** Si la tangente es $y = k$ (horizontal), la normal es $x = a$ (vertical). No se puede aplicar la fórmula $m_n = -1/m_t$ porque $m_t = 0$ y la división por cero no está definida. ✅ **Resultado (recta normal):** $$\boxed{x = \frac{3\pi}{2}}$$