Cálculo de parámetros en un límite mediante la regla de L'Hôpital

Para resolver el ejercicio, partimos del límite dado: $$\lim_{x \to 0} \frac{a \sin(x) + x \ln(x + 1) + bx^2}{x^3 + x^2} = 2$$ Primero, evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ para identificar el tipo de indeterminación: - El denominador es: $0^3 + 0^2 = 0$. - El numerador es: $a \sin(0) + 0 \cdot \ln(1) + b(0)^2 = 0 + 0 + 0 = 0$. Obtenemos la indeterminación **$\frac{0}{0}$**. Como el límite debe ser igual a $2$ (un valor finito), aplicamos la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital se aplica cuando tenemos indeterminaciones del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ y las funciones son derivables en el entorno del punto.

Derivamos el numerador y el denominador: - Derivada del numerador: $(a \sin(x) + x \ln(x + 1) + bx^2)' = a \cos(x) + \ln(x+1) + \frac{x}{x+1} + 2bx$ - Derivada del denominador: $(x^3 + x^2)' = 3x^2 + 2x$ El límite queda: $$\lim_{x \to 0} \frac{a \cos(x) + \ln(x+1) + \frac{x}{x+1} + 2bx}{3x^2 + 2x} = 2$$ Evaluamos de nuevo en $x=0$: - Denominador: $3(0)^2 + 2(0) = 0$. - Numerador: $a \cos(0) + \ln(1) + \frac{0}{1} + 2b(0) = a \cdot 1 + 0 + 0 + 0 = a$. Para que el límite pueda ser un número real ($2$), el numerador debe ser necesariamente $0$ para que persista la indeterminación y podamos seguir operando. Si $a \neq 0$, el límite sería $\infty$, lo cual contradice el enunciado. Por tanto: $$\boxed{a = 0}$$ 💡 **Tip:** Para que un límite con denominador tendiendo a cero sea finito, el numerador debe tender a cero también (condición necesaria).

Sustituimos $a = 0$ en la expresión del límite tras la primera derivada: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1) + \frac{x}{x+1} + 2bx}{3x^2 + 2x} = 2$$ Sigue siendo una indeterminación de tipo **$\frac{0}{0}$**. Aplicamos L'Hôpital de nuevo derivando numerador y denominador: - Derivada del numerador: $\left(\ln(x+1) + \frac{x}{x+1} + 2bx\right)' = \frac{1}{x+1} + \frac{1(x+1)-x(1)}{(x+1)^2} + 2b = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + 2b$ - Derivada del denominador: $(3x^2 + 2x)' = 6x + 2$ Planteamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + 2b}{6x + 2} = 2$$ 💡 **Tip:** La derivada de un cociente $\frac{u}{v}$ es $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. Para $\frac{x}{x+1}$, la derivada es $\frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

Ahora evaluamos el límite directamente sustituyendo $x=0$: $$\frac{\frac{1}{0+1} + \frac{1}{(0+1)^2} + 2b}{6(0) + 2} = 2$$ Simplificamos la expresión: $$\frac{1 + 1 + 2b}{2} = 2$$ $$\frac{2 + 2b}{2} = 2$$ $$1 + b = 2$$ Despejamos $b$: $$b = 2 - 1 = 1$$ Por tanto, los valores de los parámetros para que se cumpla la igualdad son: $$\boxed{a = 0, \quad b = 1}$$ 💡 **Tip:** En este último paso ya no hay indeterminación porque el denominador es $2$, lo que nos permite resolver la ecuación directamente.