Puntos equidistantes de dos planos sobre una recta y ángulo recta-plano

Partimos de la ecuación continua: $$x-1=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{5}=t.$$ Entonces: - De $x-1=t$: $$x=1+t.$$ - De $\dfrac{y}{2}=t$: $$y=2t.$$ - De $\dfrac{z+1}{5}=t$: $$z+1=5t\Rightarrow z=5t-1.$$ ✅ Parametrización: $$\boxed{r(t)=(1+t,\ 2t,\ 5t-1)}$$ Un vector director de $r$ es: $$\boxed{\vec v=(1,2,5)}.$$ 💡 **Tip:** En una recta en continua $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$, el vector director es $(a,b,c)$.

**a) (2 puntos)** Un punto $P(x,y,z)$ equidista de dos planos si sus **distancias geométricas** (siempre positivas) a ambos planos son iguales. La distancia de $P(x,y,z)$ al plano $Ax+By+Cz+D=0$ es: $$d(P,\pi)=\frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$ Aplicamos a cada plano: - Para $\pi_1:2x+y+z-3=0$: $$\vec n_1=(2,1,1),\qquad \|\vec n_1\|=\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\sqrt6.$$ - Para $\pi_2:x+2y-z+5=0$: $$\vec n_2=(1,2,-1),\qquad \|\vec n_2\|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt6.$$ Como ambos denominadores son iguales ($\sqrt6$), la condición $d(P,\pi_1)=d(P,\pi_2)$ se reduce a: $$\boxed{|2x+y+z-3|=|x+2y-z+5|.}$$ 💡 **Tip:** Si $\|\vec n_1\|=\|\vec n_2\|$, puedes quitar la fracción y quedarte con una igualdad de valores absolutos. 💡 **Tip extra:** La ecuación $|A|=|B|$ equivale a dos casos: $A=B$ o $A=-B$ (dos “planos bisectores”).

Tomamos un punto genérico de $r$: $$x=1+t,\quad y=2t,\quad z=5t-1.$$ ### Paso 1: calcular las dos expresiones - En $\pi_1$: $$2x+y+z-3=2(1+t)+2t+(5t-1)-3$$ $$=2+2t+2t+5t-1-3=9t-2.$$ - En $\pi_2$: $$x+2y-z+5=(1+t)+2(2t)-(5t-1)+5$$ $$=1+t+4t-5t+1+5=7.$$ La condición de equidistancia queda: $$|9t-2|=|7|=7.$$ ### Paso 2: resolver el valor absoluto (dos casos) 1) $9t-2=7$: $$9t=9\Rightarrow t=1.$$ 2) $9t-2=-7$: $$9t=-5\Rightarrow t=-\frac{5}{9}.$$ ### Paso 3: obtener los puntos en la recta - Si $t=1$: $$r(1)=(1+1,\ 2\cdot1,\ 5\cdot1-1)=(2,2,4).$$ - Si $t=-\frac{5}{9}$: $$x=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9},\quad y=2\left(-\frac{5}{9}\right)=-\frac{10}{9},\quad z=5\left(-\frac{5}{9}\right)-1=-\frac{25}{9}-1=-\frac{34}{9}.$$ ✅ **Puntos de $r$ equidistantes de $\pi_1$ y $\pi_2$: ** $$\boxed{(2,2,4)\ \text{y}\ \left(\frac{4}{9},-\frac{10}{9},-\frac{34}{9}\right)}$$ 💡 **Tip:** Cuando una de las expresiones se vuelve constante (aquí $x+2y-z+5=7$ en la recta), la ecuación con valor absoluto se simplifica muchísimo.

**b) (0,5 puntos)** Sea $\theta$ el ángulo entre la recta $r$ (dirección $\vec v$) y el plano $\pi_1$ (normal $\vec n_1$). El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del ángulo entre $\vec v$ y $\vec n_1$. De ahí se obtiene: $$\boxed{\sin\theta=\frac{|\vec n_1\cdot\vec v|}{\|\vec n_1\|\,\|\vec v\|}.}$$ Datos: $$\vec n_1=(2,1,1),\qquad \vec v=(1,2,5).$$ ### Paso 1: producto escalar $$\vec n_1\cdot\vec v=2\cdot1+1\cdot2+1\cdot5=2+2+5=9.$$ ### Paso 2: normas $$\|\vec n_1\|=\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\sqrt6,$$ $$\|\vec v\|=\sqrt{1^2+2^2+5^2}=\sqrt{30}.$$ ### Paso 3: sustituir y simplificar $$\sin\theta=\frac{9}{\sqrt6\,\sqrt{30}}=\frac{9}{\sqrt{180}}.$$ Como $180=36\cdot5$, entonces $\sqrt{180}=6\sqrt5$: $$\sin\theta=\frac{9}{6\sqrt5}=\frac{3}{2\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{10}.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sin\theta=\frac{3\sqrt5}{10}}$$ 💡 **Tip:** Para evitar errores: calcula primero $\vec n\cdot\vec v$ y las normas por separado, y simplifica al final usando factorizaciones tipo $180=36\cdot5$.