Plano perpendicular a otro que contiene una recta y distancia recta-plano

Del plano $\pi: x+y+z=0$ se obtiene un vector normal (por los coeficientes de $x,y,z$): $$\vec n_\pi=(1,1,1).$$ La recta $r$ está en forma paramétrica: $$x=\lambda,\quad y=1-\lambda,\quad z=0.$$ 1) Un punto de $r$: tomando $\lambda=0$: $$P_0=(0,1,0).$$ 2) Vector director de $r$: son los coeficientes de $\lambda$: $$\vec v=(1,-1,0).$$ 💡 **Tip:** En una recta paramétrica $(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\lambda(a,b,c)$, el director es $(a,b,c)$ y un punto es el de $\lambda=0$.

**a) (1,25 puntos)** Buscamos un plano $\sigma$ tal que: 1) $r\subset\sigma$ (contiene a la recta), 2) $\sigma\perp\pi$. ### 1) ¿Qué condiciones debe cumplir la normal $\vec n_\sigma$? - Si $r\subset\sigma$, entonces el vector director $\vec v$ está dentro del plano, y por tanto es perpendicular a la normal: $$\boxed{\vec n_\sigma\cdot\vec v=0.}$$ - Si $\sigma\perp\pi$, entonces sus normales son perpendiculares: $$\boxed{\vec n_\sigma\cdot\vec n_\pi=0.}$$ Así, $\vec n_\sigma$ debe ser perpendicular a **dos vectores**: $\vec v$ y $\vec n_\pi$. Una forma directa de obtenerlo es con el producto vectorial: $$\boxed{\vec n_\sigma=\vec n_\pi\times \vec v.}$$ ### 2) Calcular $\vec n_\sigma$ paso a paso $$\vec n_\sigma=(1,1,1)\times(1,-1,0)= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ 1&1&1\\ 1&-1&0 \end{vmatrix}.$$ Desarrollamos: $$\vec n_\sigma=\vec i(1\cdot 0-1\cdot(-1)) -\vec j(1\cdot 0-1\cdot 1)+\vec k(1\cdot(-1)-1\cdot 1).$$ $$\vec n_\sigma=\vec i(1)-\vec j(-1)+\vec k(-2)=(1,1,-2).$$ Comprobación rápida: $$\vec n_\sigma\cdot\vec v=(1,1,-2)\cdot(1,-1,0)=1-1+0=0,$$ $$\vec n_\sigma\cdot\vec n_\pi=(1,1,-2)\cdot(1,1,1)=1+1-2=0.$$ ### 3) Ecuación del plano $\sigma$ con punto-normal Como $\sigma$ contiene a $r$, pasa por $P_0=(0,1,0)$. Usamos la forma: $$\vec n_\sigma\cdot\big((x,y,z)-P_0\big)=0.$$ $$ (1,1,-2)\cdot(x-0,\ y-1,\ z-0)=0$$ $$x+(y-1)-2z=0\Rightarrow \boxed{x+y-2z-1=0.}$$ ✅ **Plano pedido:** $$\boxed{\sigma:\ x+y-2z-1=0}$$ 💡 **Tip:** Si un plano debe ser perpendicular a otro y además contener una recta, lo más rápido es: $\vec n_\sigma=\vec n_\pi\times\vec v$ y luego “punto + normal”.

**b) (1,25 puntos)** Calculamos la distancia entre la recta $r$ y el plano $\pi$. ### 1) Comprobar si $r$ corta a $\pi$ Sustituimos la recta en la ecuación del plano: $$x+y+z=\lambda+(1-\lambda)+0=1.$$ Para que haya intersección debería valer $0$, pero obtenemos siempre $1$. Por tanto: $$\boxed{r\ \text{no corta a}\ \pi.}$$ ### 2) Comprobar que $r$ es paralela a $\pi$ Una recta es paralela a un plano si su vector director es perpendicular a la normal del plano: $$\vec v\perp\vec n_\pi\Longleftrightarrow \vec n_\pi\cdot\vec v=0.$$ Calculamos: $$\vec n_\pi\cdot\vec v=(1,1,1)\cdot(1,-1,0)=1-1+0=0.$$ Luego: $$\boxed{r\parallel \pi.}$$ ### 3) Distancia recta-plano Si $r\parallel \pi$, entonces $$d(r,\pi)=d(P_0,\pi)$$ para cualquier punto $P_0\in r$. Tomamos $P_0=(0,1,0)$. La distancia de $P_0(x_0,y_0,z_0)$ al plano $Ax+By+Cz+D=0$ es: $$d(P_0,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$ Aquí $\pi: x+y+z=0$ ($A=B=C=1$, $D=0$): $$d(r,\pi)=\frac{|0+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$ ✅ **Distancia:** $$\boxed{d(r,\pi)=\frac{1}{\sqrt{3}}}$$ 💡 **Tip:** Si al sustituir la recta en el plano sale una constante distinta de $0$ (como $1$), eso suele indicar paralelismo y te permite ir directo a la fórmula de distancia punto-plano.