Álgebra 2022 Andalucia
Matrices: condición sobre la inversa y resolución de $AX=B^t$
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Dado $a\neq 0$, considera las matrices
$$A=\begin{pmatrix}-a&3\\a&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&-1\\3&4\\1&2\end{pmatrix}.$$
**a) [1,25 puntos]** Determina para qué valores de $a$ se cumple que $A^{-1}=\dfrac{1}{4}A$.
**b) [1,25 puntos]** Para $a=1$ calcula, si es posible, la matriz $X$ tal que $AX=B^t$, donde $B^t$ denota la traspuesta de $B$.
Paso 1
a) Calcular $\det(A)$ y $A^{-1}$ paso a paso
Para una matriz $2\times 2$,
$$A=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix},\qquad \det(A)=ps-qr,$$
$$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}s&-q\\-r&p\end{pmatrix}\quad (\det(A)\neq 0).$$
En nuestro caso:
$$A=\begin{pmatrix}-a&3\\a&1\end{pmatrix}$$
1) Determinante:
$$\det(A)=(-a)\cdot 1-3\cdot a=-a-3a=-4a.$$
Como $a\neq 0$, entonces $\det(A)\neq 0$ y $A$ es invertible.
2) Inversa (matriz adjunta):
$$A^{-1}=\frac{1}{-4a}\begin{pmatrix}1&-3\\-a&-a\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}-\frac{1}{4a}&\frac{3}{4a}\\[6pt]\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}.$$
💡 **Tip:** En $2\times 2$, la inversa sale rápido: intercambia la diagonal, cambia signos fuera de la diagonal y divide por el determinante.
Paso 2
a) Imponer $A^{-1}=\dfrac{1}{4}A$ e igualar entradas
Calculamos el otro lado de la condición:
$$\frac{1}{4}A=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-a&3\\a&1\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}-\frac{a}{4}&\frac{3}{4}\\[6pt]\frac{a}{4}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}.$$
La condición del enunciado es:
$$A^{-1}=\frac{1}{4}A.$$
Igualamos **entrada a entrada**:
- Entrada $(2,1)$:
$$\frac{1}{4}=\frac{a}{4}\Rightarrow a=1.$$
Comprobación rápida con otra entrada:
- Entrada $(1,2)$:
$$\frac{3}{4a}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{1}{a}=1\Rightarrow a=1$$
(coincide).
✅ Resultado:
$$\boxed{a=1}$$
💡 **Tip:** Si tienes una igualdad de matrices, basta con igualar unas cuantas entradas independientes y luego comprobar las restantes para evitar errores.
Paso 3
b) Preparar $B^t$ y justificar que se puede despejar $X$
Para $a=1$:
$$A=\begin{pmatrix}-1&3\\1&1\end{pmatrix},\qquad \det(A)=(-1)\cdot 1-3\cdot 1=-4\neq 0.$$
Luego $A$ es invertible.
Como
$$B=\begin{pmatrix}1&-1\\3&4\\1&2\end{pmatrix}$$
es $3\times 2$, su traspuesta es $2\times 3$:
$$B^t=\begin{pmatrix}1&3&1\\-1&4&2\end{pmatrix}.$$
Queremos resolver:
$$AX=B^t.$$
Como $A$ es invertible, multiplicamos por $A^{-1}$ a la izquierda:
$$A^{-1}(AX)=A^{-1}B^t\Rightarrow X=A^{-1}B^t.$$
💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales del tipo $AX=C$ con $\det(A)\neq 0$, el método estándar es multiplicar a la izquierda por $A^{-1}$.
Paso 4
b) Calcular $A^{-1}$ (para $a=1$) y multiplicar para obtener $X$
1) Inversa de $A$ cuando $a=1$:
Usamos la fórmula de $2\times 2$. Para
$$A=\begin{pmatrix}-1&3\\1&1\end{pmatrix},\qquad \det(A)=-4,$$
$$A^{-1}=\frac{1}{-4}\begin{pmatrix}1&-3\\-1&-1\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\[6pt]\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}.$$
2) Producto $X=A^{-1}B^t$:
$$X=
\begin{pmatrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\[6pt]\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&3&1\\-1&4&2\end{pmatrix}.$$
Calculamos cada entrada (fila por columna):
- Primera fila:
$$x_{11}=-\frac{1}{4}\cdot 1+\frac{3}{4}\cdot(-1)=-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-1,$$
$$x_{12}=-\frac{1}{4}\cdot 3+\frac{3}{4}\cdot 4=-\frac{3}{4}+3=\frac{9}{4},$$
$$x_{13}=-\frac{1}{4}\cdot 1+\frac{3}{4}\cdot 2=-\frac{1}{4}+\frac{6}{4}=\frac{5}{4}.$$
- Segunda fila:
$$x_{21}=\frac{1}{4}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot(-1)=0,$$
$$x_{22}=\frac{1}{4}\cdot 3+\frac{1}{4}\cdot 4=\frac{7}{4},$$
$$x_{23}=\frac{1}{4}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{3}{4}.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{X=\begin{pmatrix}-1&\frac{9}{4}&\frac{5}{4}\\[6pt]0&\frac{7}{4}&\frac{3}{4}\end{pmatrix}}$$
💡 **Tip:** Para comprobar, calcula $A\,X$ (dos filas por tres columnas) y verifica que recuperas exactamente $B^t$.