Sistema lineal con parámetro: discusión y condición sobre la familia de soluciones

Escribimos el sistema como $A\,\mathbf{x}=\mathbf{b}$, con $\mathbf{x}=(x,y,z)^T$: $$A=\begin{pmatrix}2&3&m\\1&m&-1\\3&1&-3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}3\\-1\\-m\end{pmatrix},\qquad (A\,|\,\mathbf{b})=\begin{pmatrix}2&3&m&|&3\\1&m&-1&|&-1\\3&1&-3&|&-m\end{pmatrix}.$$ 📌 **Teorema de Rouché-Frobenius**: - El sistema es **compatible** $\Longleftrightarrow \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A\,|\,\mathbf{b})$. - Si además ese rango es $3$ (número de incógnitas), entonces es **SCD**. - Si el rango común es menor que $3$, entonces es **SCI**. - Si $\operatorname{rg}(A)\ne \operatorname{rg}(A\,|\,\mathbf{b})$, entonces es **SI**. 💡 **Tip:** Primero mira $\det(A)$. Si $\det(A)\ne 0$, ya sabes que $\operatorname{rg}(A)=3$ y el sistema es SCD sin hacer más cuentas.

Calculamos el determinante por expansión en la primera fila: $$\det(A)=\begin{vmatrix}2&3&m\\1&m&-1\\3&1&-3\end{vmatrix} =2\begin{vmatrix}m&-1\\1&-3\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}1&-1\\3&-3\end{vmatrix}+m\begin{vmatrix}1&m\\3&1\end{vmatrix}.$$ Ahora los menores: 1) $$\begin{vmatrix}m&-1\\1&-3\end{vmatrix}=m(-3)-(-1)\cdot 1=-3m+1.$$ 2) $$\begin{vmatrix}1&-1\\3&-3\end{vmatrix}=1\cdot(-3)-(-1)\cdot 3=-3+3=0.$$ 3) $$\begin{vmatrix}1&m\\3&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-m\cdot 3=1-3m.$$ Sustituimos: $$\det(A)=2(-3m+1)-3\cdot 0+m(1-3m)=(-6m+2)+(m-3m^2).$$ Simplificando: $$\det(A)=-3m^2-5m+2=-(3m^2+5m-2)=-(m+2)(3m-1).$$ ✅ Por tanto: $$\det(A)=0\Longleftrightarrow (m+2)(3m-1)=0\Longleftrightarrow m=-2\ \text{o}\ m=\frac{1}{3}.$$ 💡 **Tip:** Cuando aparece un parámetro, intenta **factorizar** el determinante: los ceros te marcan los casos especiales.

### Caso 1: $m\ne -2$ y $m\ne \frac{1}{3}$ Entonces $\det(A)\ne 0$. - Una matriz con determinante no nulo es invertible. - Por tanto, $\operatorname{rg}(A)=3$. - Y necesariamente $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A\,|\,\mathbf{b})=3$. ✅ Conclusión: $$\boxed{m\ne -2,\ m\ne \frac{1}{3}\ \Rightarrow\ \text{SCD (solución única).}}$$ --- ### Caso 2: $m=\frac{1}{3}$ (comprobamos compatibilidad) Sustituimos $m=\frac{1}{3}$: $$\begin{cases} 2x+3y+\frac{1}{3}z=3\\ x+\frac{1}{3}y-z=-1\\ 3x+y-3z=-\frac{1}{3} \end{cases}$$ Multiplicamos la 2ª ecuación por $3$ (no cambia el conjunto de soluciones): $$3x+y-3z=-3.$$ Pero la 3ª ecuación es: $$3x+y-3z=-\frac{1}{3}.$$ Mismo lado izquierdo, distinto término independiente $\Rightarrow$ contradicción. Entonces: - En $A$, las filas 2 y 3 son proporcionales (misma ecuación en coeficientes) $\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$. - En $(A\,|\,\mathbf{b})$, las filas 2 y 3 ya no son proporcionales (distinto término independiente) $\Rightarrow \operatorname{rg}(A\,|\,\mathbf{b})=3$. ✅ Por Rouché-Frobenius: $$\boxed{m=\frac{1}{3}\ \Rightarrow\ \operatorname{rg}(A)=2\ne 3=\operatorname{rg}(A\,|\,\mathbf{b})\ \Rightarrow\ \text{SI (incompatible).}}$$ --- ### Caso 3: $m=-2$ (lo resolveremos por Gauss) Aquí $\det(A)=0$, así que hay que estudiar rangos con eliminación. 💡 **Tip:** En los casos $\det(A)=0$, no “adivines”: aplica Rouché-Frobenius calculando rangos con Gauss en $A$ y en $(A\,|\,\mathbf{b})$.

Sustituimos $m=-2$ en el sistema: $$\begin{cases} 2x+3y-2z=3\\ x-2y-z=-1\\ 3x+y-3z=2 \end{cases}$$ Matriz ampliada: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 2&3&-2&3\\ 1&-2&-1&-1\\ 3&1&-3&2 \end{array}\right).$$ **Paso 1 (cambiar filas para pivotar con 1):** $$R_1\leftrightarrow R_2\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 1&-2&-1&-1\\ 2&3&-2&3\\ 3&1&-3&2 \end{array}\right).$$ **Paso 2 (anular debajo del pivote):** - $R_2\leftarrow R_2-2R_1$: $$R_2=(2,3,-2\,|\,3)-2(1,-2,-1\,|\,-1)=(0,7,0\,|\,5).$$ - $R_3\leftarrow R_3-3R_1$: $$R_3=(3,1,-3\,|\,2)-3(1,-2,-1\,|\,-1)=(0,7,0\,|\,5).$$ Queda: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&-2&-1&-1\\ 0&7&0&5\\ 0&7&0&5 \end{array}\right).$$ **Paso 3 (hacer cero la tercera fila):** $$R_3\leftarrow R_3-R_2\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 1&-2&-1&-1\\ 0&7&0&5\\ 0&0&0&0 \end{array}\right).$$ De aquí se ve que: - Hay 2 filas no nulas en la parte de coeficientes $\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$. - Y no aparece una fila del tipo $(0,0,0\,|\,k)$ con $k\ne 0$ $\Rightarrow \operatorname{rg}(A\,|\,\mathbf{b})=2$. ✅ Por Rouché-Frobenius: $$\boxed{m=-2\Rightarrow \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A\,|\,\mathbf{b})=2<3\Rightarrow \text{SCI (infinitas soluciones).}}$$ **Paso 4 (resolver):** Dividimos la fila 2 entre $7$: $$R_2\leftarrow \frac{1}{7}R_2\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 1&-2&-1&-1\\ 0&1&0&\frac{5}{7}\\ 0&0&0&0 \end{array}\right).$$ Eliminamos el $-2$ sobre el pivote de $y$: $$R_1\leftarrow R_1+2R_2\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-1&\frac{3}{7}\\ 0&1&0&\frac{5}{7}\\ 0&0&0&0 \end{array}\right).$$ Interpretación: $$\begin{cases} x-z=\frac{3}{7}\\ y=\frac{5}{7} \end{cases}$$ Tomamos $z=t$ (parámetro libre): $$x=t+\frac{3}{7},\qquad y=\frac{5}{7},\qquad z=t.$$ ✅ Familia de soluciones: $$\boxed{(x,y,z)=\left(t+\frac{3}{7},\ \frac{5}{7},\ t\right),\quad t\in\mathbb{R}.}$$ 💡 **Tip:** En un SCI, el número de parámetros libres es $3-\operatorname{rg}(A)$ (aquí $3-2=1$ parámetro).

El enunciado pide que (para $m=-2$) la solución se escriba como: $$x=\lambda,\qquad y=y_0,\qquad z=\lambda-\frac{3}{7}.$$ De nuestra familia: $$x=t+\frac{3}{7},\qquad y=\frac{5}{7},\qquad z=t.$$ Elegimos $\lambda=x=t+\frac{3}{7}$. Entonces $$z=t=\lambda-\frac{3}{7}$$ (coincide exactamente) y el valor constante de $y$ es $$y_0=\frac{5}{7}.$$ ✅ Resultado: $$\boxed{y_0=\frac{5}{7}.}$$ 💡 **Tip:** Para encajar una parametrización con la forma del enunciado, primero decide qué variable será el parámetro ($\lambda$) y expresa el resto en función de ella.