Análisis 2022 Andalucia
Integral definida con arctangente: integración por partes
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Calcula
$$\int_{0}^{1} x\,\operatorname{arctg}(x)\,dx,$$
donde $\operatorname{arctg}$ denota la función arcotangente (arctan).
Paso 1
Integración por partes
Sea
$$I=\int_{0}^{1}x\arctan(x)\,dx.$$
Por partes:
- $u=\arctan(x)\Rightarrow du=\frac{1}{1+x^2}\,dx$
- $dv=x\,dx\Rightarrow v=\frac{x^2}{2}$
Entonces:
$$I=\left[\frac{x^2}{2}\arctan(x)\right]_{0}^{1}-\frac12\int_{0}^{1}\frac{x^2}{1+x^2}\,dx.$$
Paso 2
Término de borde
Como $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$:
$$\left[\frac{x^2}{2}\arctan(x)\right]_{0}^{1}=\frac12\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}.$$
Paso 3
Integral restante
Usamos:
$$\frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}.$$
Entonces:
$$\frac12\int_{0}^{1}\frac{x^2}{1+x^2}\,dx
=\frac12\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx
=\frac12\left[x-\arctan(x)\right]_{0}^{1}
=\frac12\left(1-\frac{\pi}{4}\right).$$
Paso 4
Resultado
Finalmente:
$$I=\frac{\pi}{8}-\frac12\left(1-\frac{\pi}{4}\right)
=\frac{\pi}{8}-\frac12+\frac{\pi}{8}
=\frac{\pi}{4}-\frac12.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{\int_{0}^{1}x\arctan(x)\,dx=\frac{\pi}{4}-\frac12}$$