Análisis 2022 Andalucia
Función definida por integral: monotonicidad y recta tangente
EJERCICIO 3. (2,5 puntos)
Considera la función $F:[0,2\pi]\to\mathbb{R}$ definida por
$$F(x)=\int_{0}^{x}2t\cos(t)\,dt.$$
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $F$. (1 punto)
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F$ en el punto de abscisa $x=\pi$. (1,5 puntos)
Paso 1
**a) [1 punto]** Derivar $F$
Por el Teorema Fundamental del Cálculo:
$$F'(x)=2x\cos(x).$$
En $[0,2\pi]$ se cumple $x\ge 0$, así que el signo de $F'(x)$ depende solo del signo de $\cos(x)$.
💡 **Tip:** Si $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ con $f$ continua, entonces $F'(x)=f(x)$.
Paso 2
**a) [1 punto]** Crecimiento y decrecimiento
Ceros de $F'(x)$:
$$2x\cos(x)=0\Rightarrow x=0\ \text{o}\ \cos(x)=0.$$
En $[0,2\pi]$:
$$\cos(x)=0\ \text{en}\ x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.$$
Signo:
- En $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$, $\cos(x)>0$ ⇒ $F'(x)>0$.
- En $\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$, $\cos(x)<0$ ⇒ $F'(x)<0$.
- En $\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$, $\cos(x)>0$ ⇒ $F'(x)>0$.
✅ Resultado:
$$\boxed{F\ \text{crece en}\ \left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right],\quad F\ \text{decrece en}\ \left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right].}$$
💡 **Tip:** Derivada positiva ⇒ creciente; derivada negativa ⇒ decreciente.
Paso 3
**b) [1,5 puntos]** Calcular $F(\pi)$
Calculamos:
$$F(\pi)=\int_{0}^{\pi}2t\cos(t)\,dt.$$
Por partes:
- $u=2t\Rightarrow du=2\,dt$
- $dv=\cos(t)\,dt\Rightarrow v=\sin(t)$
Entonces:
$$\int 2t\cos(t)\,dt=2t\sin(t)+2\cos(t)+C.$$
Evaluamos:
$$F(\pi)=\big(2t\sin t+2\cos t\big)\Big|_0^{\pi}=\big(0+2\cos\pi\big)-\big(0+2\cos 0\big)=-2-2=-4.$$
✅ Punto de tangencia:
$$\boxed{(\pi,-4)}$$
Paso 4
**b) [1,5 puntos]** Recta tangente en $x=\pi$
Pendiente:
$$F'(\pi)=2\pi\cos\pi=2\pi(-1)=-2\pi.$$
Recta tangente:
$$y-F(\pi)=F'(\pi)(x-\pi)\Rightarrow y+4=-2\pi(x-\pi).$$
Forma explícita:
$$\boxed{y=-2\pi x+2\pi^2-4}.$$
Paso 5
Gráfica interactiva (Desmos)
Interactivo para visualizar $F$ y la tangente en $x=\pi$.