Análisis 2022 Andalucia
Crecimiento, concavidad e inflexión de $\ln(x^2+1)$
EJERCICIO 2. (2,5 puntos)
Considera la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por
$$f(x)=\ln\left(x^2+1\right)$$
(donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano).
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. (1 punto)
b) Determina los intervalos de convexidad y de concavidad de $f$ y los puntos de inflexión de su gráfica. (1,5 puntos)
Paso 1
Derivada y signo de $f'(x)$ para crecimiento/decrecimiento
**a) (1 punto) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.**
Derivamos:
$$f(x)=\ln(x^2+1)\ \Rightarrow\ f'(x)=\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}.$$
Como $x^2+1>0$ para todo $x$, el signo de $f'(x)$ depende solo de $2x$:
- Si $x<0$, entonces $f'(x)<0$ $\Rightarrow$ $f$ **decrece**.
- Si $x>0$, entonces $f'(x)>0$ $\Rightarrow$ $f$ **crece**.
- En $x=0$, $f'(0)=0$.
✅ **Conclusión:**
$$\boxed{\text{$f$ decrece en }(-\infty,0)\ \text{y crece en }(0,+\infty).}$$
💡 **Tip:** Cuando el denominador es siempre positivo, basta estudiar el signo del numerador.
Paso 2
Segunda derivada para convexidad/concavidad
**b) (1,5 puntos) Convexidad, concavidad y puntos de inflexión.**
Partimos de $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ y derivamos (regla del cociente):
$$f''(x)=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot(2x)}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}.$$
De nuevo, $(x^2+1)^2>0$, así que el signo depende de $1-x^2$:
- Si $|x|<1$, entonces $1-x^2>0$ $\Rightarrow$ $f''(x)>0$ (función **convexa**).
- Si $|x|>1$, entonces $1-x^2<0$ $\Rightarrow$ $f''(x)<0$ (función **cóncava**).
📌 Tabla de signos (curvatura):
$$\begin{array}{c|ccccc}
x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline
f''(x) & - & 0 & + & 0 & -
\end{array}$$
✅ **Conclusión:**
$$\boxed{\text{$f$ es convexa en }(-1,1)\ \text{y cóncava en }(-\infty,-1)\cup(1,+\infty).}$$
Paso 3
Puntos de inflexión
Los puntos de inflexión aparecen donde $f''(x)=0$ y cambia de signo.
$$f''(x)=0\ \Rightarrow\ 2(1-x^2)=0\ \Rightarrow\ x^2=1\ \Rightarrow\ x=\pm 1.$$
Coordenadas en la gráfica:
$$f(1)=\ln(1^2+1)=\ln 2,\qquad f(-1)=\ln((-1)^2+1)=\ln 2.$$
Como el signo de $f''$ pasa de $-$ a $+$ en $x=-1$ y de $+$ a $-$ en $x=1$, ambos son inflexiones.
✅ **Puntos de inflexión:**
$$\boxed{(-1,\ln 2)\ \text{y}\ (1,\ln 2)}$$
📌 **Interactivo (Desmos):**
En Desmos puedes pegar:
$f(x)=\ln(x^2+1)$
$f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$
$f''(x)=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$