Función a trozos con raíz: continuidad, derivabilidad en $x=2$ y recta tangente

Para que $f$ sea **continua** en un punto $x_0$ debe cumplirse simultáneamente: 1) Existe el límite $\lim_{x\to x_0} f(x)$. 2) Los límites laterales coinciden: $$\lim_{x\to x_0^-} f(x)=\lim_{x\to x_0^+} f(x).$$ 3) Ese valor coincide con la función en el punto: $$\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0).$$ En una función a trozos, basta imponer estas condiciones en los puntos donde cambia la expresión (aquí, $x=0$ y $x=2$). 💡 **Tip:** Antes de calcular nada, localiza los “puntos de empalme” (cambio de fórmula).

En $x=0$ la función vale (porque $0\le 0$ y se usa el primer trozo): $$f(0)=0^2+2=2.$$ Límite por la derecha (usa el segundo trozo): $$\lim_{x\to 0^+}\sqrt{ax+b}=\sqrt{b}.$$ Para continuidad en $x=0$ debe cumplirse: $$\lim_{x\to 0^-}f(x)=f(0)=\lim_{x\to 0^+}f(x).$$ Como $\lim_{x\to 0^-}f(x)=f(0)=2$, imponemos: $$\sqrt{b}=2\quad\Rightarrow\quad b=4.$$ ✅ Primer resultado: $$\boxed{b=4}$$ 💡 **Tip:** Con raíces, recuerda que el valor dentro de la raíz debe ser $\ge 0$ (aquí $b=4$ lo cumple).

En $x=2$ el segundo trozo **incluye** el punto ($0\le x\le 2$), por lo que: $$f(2)=\sqrt{2a+b}.$$ El límite por la derecha en $x=2$ usa el tercer trozo: $$\lim_{x\to 2^+}\left(-\frac{x}{2\sqrt2}+\frac{3}{\sqrt2}\right) =-\frac{2}{2\sqrt2}+\frac{3}{\sqrt2} =-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{3}{\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2.$$ Para continuidad en $x=2$: $$\lim_{x\to 2^-}f(x)=f(2)=\lim_{x\to 2^+}f(x).$$ Pero $\lim_{x\to 2^-}f(x)=\sqrt{2a+b}$, así que imponemos: $$\sqrt{2a+b}=\sqrt2\quad\Rightarrow\quad 2a+b=2.$$ Sustituyendo $b=4$: $$2a+4=2\Rightarrow 2a=-2\Rightarrow a=-1.$$ ✅ Resultado del apartado (a): $$\boxed{a=-1,\quad b=4}$$ 💡 **Tip:** En los camnios de rama, es muy útil calcular primero el valor del tramo “simple” (aquí el lineal) y luego igualarlo al otro.

Con $a=-1$ y $b=4$, el segundo trozo queda: $$f(x)=\sqrt{-x+4}=\sqrt{4-x}\quad (0\le x\le 2).$$ ### Derivada por la izquierda en $x=2$ Si $g(x)=\sqrt{4-x}=(4-x)^{1/2}$, entonces $$g'(x)=\frac12(4-x)^{-1/2}\cdot(-1)=-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}.$$ Por tanto: $$f'_-(2)= -\frac{1}{2\sqrt{4-2}}=-\frac{1}{2\sqrt2}.$$ ### Derivada por la derecha en $x=2$ Para $x>2$: $$f(x)=-\frac{x}{2\sqrt2}+\frac{3}{\sqrt2}$$ que es una recta, así que $$f'_+(2)= -\frac{1}{2\sqrt2}.$$ Como $f'_-(2)=f'_+(2)$, **existe** la derivada en $x=2$: $$\boxed{f'(2)=-\frac{1}{2\sqrt2}}$$ 💡 **Tip:** Para derivabilidad en un punto de empalme, siempre compara $f'_-(x_0)$ y $f'_+(x_0)$.

El punto de tangencia es $(2,f(2))$. Calculamos $f(2)$ (con el segundo trozo): $$f(2)=\sqrt{4-2}=\sqrt2.$$ Pendiente: $m=f'(2)=-\dfrac{1}{2\sqrt2}$. Ecuación (punto-pendiente): $$y-\sqrt2=-\frac{1}{2\sqrt2}(x-2).$$ Si se desea en forma explícita: $$\boxed{y=-\frac{x}{2\sqrt2}+\frac{3}{\sqrt2}}$$ (que coincide con el tercer trozo). ✅ Resultado del apartado (b): - $f$ es derivable en $x=2$. - Recta tangente: $y-\sqrt2=-\dfrac{1}{2\sqrt2}(x-2)$. 💡 **Tip:** Cuando el trozo derecho es lineal, si hay derivabilidad en el empalme, la tangente suele ser precisamente esa recta.

Interactivo para visualizar la función y comprobar la continuidad en los empalmes. Incluye los valores finales $a=-1$ y $b=4$.