Puntos equidistantes a dos planos y ángulo entre planos

De $r:\ \begin{cases}2x+z=1\\ y=1\end{cases}$ tomamos $x=t$ como parámetro. Entonces $$y=1,\qquad z=1-2t.$$ Por tanto, $$r:\ P(t)=(t,\,1,\,1-2t),\quad t\in\mathbb{R}.$$ La distancia de un punto $P(x,y,z)$ al plano $ax+by+cz+d=0$ es $$d(P,\pi)=\frac{|ax+by+cz+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$ 💡 **Tip:** Primero calcula el vector normal del plano (los coeficientes $(a,b,c)$) y su norma: aparece siempre en el denominador.

**a) (1,5 puntos)** Normales de los planos: - $\pi_1: x+y+2=0\Rightarrow \vec n_1=(1,1,0)$, $\|\vec n_1\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$. - $\pi_2: x-z-1=0\Rightarrow \vec n_2=(1,0,-1)$, $\|\vec n_2\|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$. Como las normas son iguales, la condición “equidistan” es: $$\frac{|x+y+2|}{\sqrt{2}}=\frac{|x-z-1|}{\sqrt{2}}\ \Longleftrightarrow\ |x+y+2|=|x-z-1|.$$ Sustituimos $P(t)=(t,1,1-2t)$: - En $\pi_1$: $x+y+2=t+1+2=t+3$. - En $\pi_2$: $x-z-1=t-(1-2t)-1=3t-2$. Así que debemos resolver: $$|t+3|=|3t-2|.$$ Casos: 1) $t+3=3t-2\ \Rightarrow\ 5=2t\ \Rightarrow\ t=\frac{5}{2}$. 2) $t+3=-(3t-2)\ \Rightarrow\ t+3=-3t+2\ \Rightarrow\ 4t=-1\ \Rightarrow\ t=-\frac{1}{4}$. Calculamos los puntos correspondientes (recordando $z=1-2t$): - Si $t=\frac{5}{2}$: $z=1-2\cdot\frac{5}{2}=1-5=-4$. $$P_1=\left(\frac{5}{2},\,1,\,-4\right).$$ - Si $t=-\frac{1}{4}$: $z=1-2\left(-\frac{1}{4}\right)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. $$P_2=\left(-\frac{1}{4},\,1,\,\frac{3}{2}\right).$$ Por tanto, $$\boxed{\text{Los puntos de }r\text{ equidistantes de }\pi_1\text{ y }\pi_2\text{ son }\left(\frac{5}{2},1,-4\right)\text{ y }\left(-\frac{1}{4},1,\frac{3}{2}\right).}$$ 💡 **Tip:** Con valores absolutos, resuelve siempre con “dos casos”: $A=B$ o $A=-B$.

**b) (1 punto)** El ángulo entre dos planos es el ángulo agudo entre sus vectores normales. $$\vec n_1=(1,1,0),\qquad \vec n_2=(1,0,-1).$$ Producto escalar: $$\vec n_1\cdot \vec n_2=1\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot(-1)=1.$$ Normas: $$\|\vec n_1\|=\sqrt{2},\qquad \|\vec n_2\|=\sqrt{2}.$$ Entonces $$\cos\theta=\frac{|\vec n_1\cdot \vec n_2|}{\|\vec n_1\|\,\|\vec n_2\|}=\frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.$$ Por tanto, $$\boxed{\theta=\arccos\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}=60^{\circ}}$$ 💡 **Tip:** Para el ángulo entre planos, usa siempre los **normales**. Si te sale un ángulo obtuso, quédate con el agudo (por eso el valor absoluto en el coseno).