Planos que contienen una recta: paralelismo y perpendicularidad

La recta $r$ está definida por las ecuaciones $x=0$ y $z=0$. Por tanto, $y$ es libre y una parametrización es: $$r:\ (x,y,z)=(0,\lambda,0),\ \lambda\in\mathbb{R}.$$ Luego, un vector director de $r$ es $$\vec u=(0,1,0).$$ La recta $s$ viene dada por el sistema $$\begin{cases}x+y=1\\ x-y=1\end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $2x=2\Rightarrow x=1$. Entonces $y=0$ y $z$ es libre: $$s:\ (x,y,z)=(1,0,\mu),\ \mu\in\mathbb{R}.$$ Así, un vector director de $s$ es $$\vec v=(0,0,1).$$ 💡 **Tip:** Cuando una recta está dada por dos ecuaciones lineales, suele quedar una coordenada libre: esa coordenada será el parámetro.

**a) (1,5 puntos)** Un plano que **contiene** a la recta $r$ debe contener su dirección $\vec u=(0,1,0)$. Además, que sea **paralelo** a $s$ significa que contiene un vector paralelo a la dirección de $s$, es decir, a $\vec v=(0,0,1)$. Por tanto, el plano buscado contiene dos direcciones no colineales: $$\vec u=(0,1,0),\qquad \vec v=(0,0,1).$$ Un vector normal del plano se obtiene con el producto vectorial: $$\vec n=\vec u\times\vec v=(0,1,0)\times(0,0,1)=(1,0,0).$$ Así, la ecuación del plano es de la forma $$\vec n\cdot (\,(x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)\,)=0.$$ Como la recta $r$ pasa por el origen $O(0,0,0)$, tomamos $(x_0,y_0,z_0)=(0,0,0)$: $$ (1,0,0)\cdot(x,y,z)=0\ \Longrightarrow\ x=0.$$ Por tanto, $$\boxed{\pi:\ x=0}$$ ✅ Este plano contiene a $r$ (porque en $r$ siempre $x=0$) y es paralelo a $s$ (porque $\vec v$ es paralelo al plano). 💡 **Tip:** Para “plano que contiene dos direcciones”, el producto vectorial de esas direcciones te da directamente el normal.

**b) (1 punto)** Que un plano sea **perpendicular** a la recta $s$ equivale a que su vector normal sea **paralelo** al vector director de $s$. Como $\vec v=(0,0,1)$ es director de $s$, podemos tomar como normal del plano: $$\vec n=(0,0,1).$$ Un plano con normal $(0,0,1)$ tiene ecuación $$0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z+d=0\ \Longrightarrow\ z+d=0.$$ Para que el plano contenga a $r$, y en $r$ se cumple $z=0$ para todos sus puntos, debe ser $d=0$. Por tanto, $$\boxed{\pi:\ z=0}$$ 💡 **Tip:** “Plano perpendicular a una recta” $\Rightarrow$ el **normal del plano** es paralelo a la **dirección de la recta**.