Álgebra 2022 Andalucia
Reparto del sueño NO-REM en tres fases mediante un sistema
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
En un estudio del ciclo del sueño se monitoriza la fase NO-REM (es el momento del sueño que el cuerpo utiliza para descansar físicamente). Esta fase se divide a su vez en tres momentos: Fase I (adormecimiento), Fase II (sueño ligero) y Fase III (sueño profundo). Una persona dedica el $75\%$ de su sueño a la fase NO-REM. Además, el tiempo que dedica a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas. Por otro lado, a la Fase III se dedica el cuádruple que a la Fase I. Si una persona ha dormido 8 horas, ¿cuántos minutos dedica a las Fases I, II y III del ciclo del sueño?
Paso 1
Pasar a minutos y calcular el tiempo total NO-REM
La persona ha dormido 8 horas:
$$8\ \text{h}=8\cdot 60=480\ \text{min}.$$
El $75\%$ del sueño es NO-REM, así que:
$$T_{\text{NO-REM}}=0{,}75\cdot 480=360\ \text{min}.$$
💡 **Tip:** Trabajar en minutos evita errores al plantear el sistema.
Paso 2
Definir variables y plantear el sistema
Sea:
- $x$ = minutos en Fase I
- $y$ = minutos en Fase II
- $z$ = minutos en Fase III
Como las tres fases NO-REM suman 360 minutos:
$$x+y+z=360.$$
“Fase II es el doble que Fase I y III juntas”:
$$y=2(x+z).$$
“Fase III es el cuádruple que Fase I”:
$$z=4x.$$
Luego:
$$\begin{cases}
x+y+z=360\\
y=2(x+z)\\
z=4x
\end{cases}$$
Paso 3
Resolver el sistema
De $z=4x$ lo sustituimos en $y=2(x+z)$:
$$y=2(x+4x)=2\cdot 5x=10x.$$
Sustituimos $y=10x$ y $z=4x$ en la primera ecuación:
$$x+10x+4x=360\Rightarrow 15x=360\Rightarrow x=\frac{360}{15}=24.$$
Entonces:
$$z=4x=96,\qquad y=10x=240.$$
✅ Resultado:
$$\boxed{x=24\ \text{min},\quad y=240\ \text{min},\quad z=96\ \text{min}.}$$
💡 **Tip:** Comprueba la suma: $24+240+96=360$ ✅
Paso 4
Comprobación global (opcional): tiempo REM
El resto del sueño (no NO-REM) sería:
$$480-360=120\ \text{min}.$$
No es necesario para la respuesta, pero sirve de control del reparto total.